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Bestimme die adjungierte Abbildung zu \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x,y) \mapsto (x+2y, 3x+4y)\)
Um die adjungierte Abbildung zu bestimmen, müssen wir folgenden formalen Zusammenhang nutzen: Eine Abbildung \(f^*: V \rightarrow V\) (in unserem Fall ist \(V = \mathbb{R}^2\)) heißt *adjungiert* zu \(f\), wenn für alle Vektoren \(v, w \in V\) gilt:
\( \langle fv, w \rangle = \langle v, f^*w \rangle \)
wobei \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) das Skalarprodukt auf \(V\) bezeichnet.
Gegeben ist das Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \) durch die Matrix:
\( M=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 1 & -1 \end{array}\right) \)
und die Abbildung \(f\):
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l} x y \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x+2 y 3 x+4 y \end{array}\right) \)
Schritt 1: Darstellung des Skalarprodukts mithilfe von \(M\)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren \(u = (u_1, u_2)^T\) und \(v = (v_1, v_2)^T\) im \(\mathbb{R}^2\) bezüglich der Matrix \(M\) ist gegeben durch:
\( \langle u, v \rangle_M = u^T M v \)
Schritt 2: Bestimme die Matrixdarstellung von \(f\)
Die Matrixdarstellung von \(f\) ist gegeben durch die Matrix, die aus der Abbildungsvorschrift hervorgeht:
\( A_f=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 3 & 4 \end{array}\right) \)
Schritt 3: Bestimmen der adjungierten Abbildung \(f^*\)
Wir müssen eine Matrix \(A_{f^*}\) finden, welche die adjungierte Abbildung \(f^*\) repräsentiert und der Bedingung genügt, dass für alle Vektoren \(v, w \in \mathbb{R}^2\) gilt:
\( \langle Av, w \rangle_M = \langle v, A_{f^*}w \rangle_M \)
wobei \(A\) die Matrix von \(f\) ist.
Das bedeutet, wir suchen \(A_{f^*}\) so, dass:
\( v^T A^T M w = v^T M A_{f^*} w \)
für alle \(v, w\).
Für \(\mathbb{R}^2\) ist die adjungierte Abbildung \(f^*\) eng verbunden mit der transponierten Matrix \(A^T\), aber wir müssen \(M\) miteinbeziehen, da unser Skalarprodukt durch \(M\) induziert wird. Die allgemeine Formel für die adjungierte Matrix \(A_{f^*}\) in Bezug auf das durch \(M\) induzierte Skalarprodukt ist:
\( A_{f^*} = M^{-1} A^T M \)
Schritt 4: Berechne \(A_{f^*}\)
1. Berechne \(M^{-1}\):
\( M^{-1} = \frac{1}{|M|} \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 -1 & 1 \end{array}\right) = \frac{1}{(-2)} \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 -1 & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 0.5 & -0.5 \end{array}\right) \)
2. Berechne \(A^T\):
\( A^T = \left(\begin{array}{cc} 1 & 3 2 & 4 \end{array}\right) \)
3. Berechne \(A_{f^*}\):
\( A_{f^*} = M^{-1} A^T M = \left(\begin{array}{cc} 0.5 & 0.5 0.5 & -0.5 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 3 2 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 1 & -1 \end{array}\right) \)
Die genaue Multiplikation dieser Matrizen ergibt:
\( A_{f^*} = \left(\begin{array}{cc} 5/2 & 5/2 1/2 & -1/2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 1 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 7.5 & 2.5 0 & 1 \end{array}\right) \)
Das heißt, die adjungierte Abbildung \(f^*\), gegeben durch die Matrix \(A_{f^*}\), transformiert einen Vektor \((x, y)\) im \(\mathbb{R}^2\) nach \((7.5x + 2.5y, x)\).
Zusammenfassung:
Die adjungierte Abbildung \(f^*\) zu der gegebenen linearen Abbildung \(f\), unter Berücksichtigung des spezifischen Skalarprodukts, ist durch die Matrix \(\left(\begin{array}{cc}7.5 & 2.5 0 & 1\end{array}\right)\) gegeben und lautet in ausführlicher Funktionsschreibweise:
\( f^*: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, (x, y) \mapsto (7.5x + 2.5y, x) \)
