Wie bestimme ich das Intregral von 1/(x*(1-x)^{1/2})?

Question

ich habe die Aufgabe:

Stammfunktion von 1/(x*(1-x)^1/2) bilden.

Ich habe √(1-x) = u substituiert dann daraus du= -1/(2*(1-x)^1/2) dx , wenn ich jetzt nach dx auflöse und für (1-x)^1/2) = u setzte, kommt bei mir 2*u du = dx raus. 

Das eingesetzt ist was komplett falsches. Wo liegt der Fehler? Kann mir jemand sagen, wie das richtig gemacht werden kann?

Ich danke vielmals

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Habe das mal in leserliche Form übersetzt

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ich habe die Aufgabe:

Stammfunktion von \( \frac{1}{x \sqrt{1-x} } \) bilden.

Ich habe \( \sqrt{1-x} = u \) substituiert dann daraus  \( \text{du} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \text{dx} \) , wenn ich jetzt nach dx auflöse und für \( \sqrt{1-x} = u \) setzte, kommt bei mir \( 2u\ \text{du} = \text{dx} \) raus.

Das eingesetzt ist was komplett falsches. Wo liegt der Fehler? Kann mir jemand sagen, wie das richtig gemacht werden kann?

Ich danke vielmals

Answer 1

I = ∫ \(\frac{1}{x·√(1-x)}\) dx

Setze: u = √(1-x)   →  x = 1 - u² 

\(\frac{du}{dx}\) = \(\frac{-1}{2·√(1-x)}\)  →  dx = -2·√(1-x)·du

→ I = ∫ \(\frac{1·(-2)·√(1-x)}{(1-u^2)·√(1-x)}\)·du  =  ∫ \(\frac{2}{(u^2-1)}\) du

Partialbruchzerlegung:  \(\frac{2}{u^2-1}\) = \(\frac{A}{u-1}\) + \(\frac{B}{u+1}\) = \(\frac{A·(u+1)+B·(u-1)}{u^2-1}\) 

→   \(\frac{2}{u^2-1}\)  =  \(\frac{(A+B)·u + (A-B)}{u^2-1}\) 

Koeffizientenvergleich:   A + B = 0  →  B = -A  ; 

A - B  =  A + A = 2  →  A = 1  →  B = -1

→  I = ∫ (  \(\frac{1}{u-1}\) -  \(\frac{1}{u+1}\)) du = ln(|u-1|) - ln(|u+1|) + C

 =  ln(|√(1-x) - 1|) - ln(√(1-x) + 1) + C

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Für spätere Fälle :-)

Hier findest du Online-Rechner, die auch den Rechenweg angeben, für die Integration und die Partialbruchzerlegung

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das Ergebnis ist                                           

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wie hast du das gelöst?

Answer 3

Du kannst die Aufgabe auch ohne Partialbruchzerlegung lösen:

 

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Fehler in der vorletzten Zeile :

Das gibt nicht -2 arctan(v) + c

sondern 0,5*ln( |v+1|/|v-1|)+c

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da ist kein Fehler

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Abl. von -2 arctan(v) nach v gibt

-2 * 1 / (1 + v^2 )  und nicht  -2 * 1 / (1 - v^2 )