I = ∫ \(\frac{1}{x·√(1-x)}\) dx
Setze: u = √(1-x) → x = 1 - u2
\(\frac{du}{dx}\) = \(\frac{-1}{2·√(1-x)}\) → dx = -2·√(1-x)·du
→ I = ∫ \(\frac{1·(-2)·√(1-x)}{(1-u^2)·√(1-x)}\)·du = ∫ \(\frac{2}{(u^2-1)}\) du
Partialbruchzerlegung: \(\frac{2}{u^2-1}\) = \(\frac{A}{u-1}\) + \(\frac{B}{u+1}\) = \(\frac{A·(u+1)+B·(u-1)}{u^2-1}\)
→ \(\frac{2}{u^2-1}\) = \(\frac{(A+B)·u + (A-B)}{u^2-1}\)
Koeffizientenvergleich: A + B = 0 → B = -A ;
A - B = A + A = 2 → A = 1 → B = -1
→ I = ∫ ( \(\frac{1}{u-1}\) - \(\frac{1}{u+1}\)) du = ln(|u-1|) - ln(|u+1|) + C
= ln(|√(1-x) - 1|) - ln(√(1-x) + 1) + C
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Für spätere Fälle :-)
Hier findest du Online-Rechner, die auch den Rechenweg angeben, für die Integration und die Partialbruchzerlegung
Gruß Wolfgang
