Wie berechne ich das Integral von ∫_{0}^{8} dx / (1+³√x)

Question

Wie berechne ich das Integral von

\( \int \limits_{0}^{8} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x}} \)

Answer 1

Hier der Anfang:

\( \int \limits_{0}^{8} \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x \)
\(\text{Subs.: } t=1+\sqrt[3]{x}, x=(t-1)^{3} \\ d x= 3 \cdot x^{2 / 3} d t \\ 3 \int \limits_{0}^{8} \frac{(t-1)^{2}}{t} d x =\\=3 \cdot\left\{\int \limits_{0}^{8} t d t\right. \left.-2 \int \limits_{0}^{8} d t+\int \limits_{0}^{8} \frac{1}{t} d t\right\}  \)

Ab hier kannst Du es leicht selber lösen.
Resubstituieren nicht vergessen.

lg JR

Comments

Auch 2013 schon das merkwürdige Phänomen: Obwohl die Lösung falsch notiert ist, gibt es 2 Daumen...

Answer 2

Kleiner Tipp:

Wenn man Schwierigkeiten mit solchen Integralen hat kann man Wolfram Alpha benutzen

integral_0^8 1/(1+x^{1/3}) dx = log(27) ~ 3.29584

Der liefert auch eine Schritt für Schritt Lösung zur Bestimmung der Stammfunktion.

--> https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_0%5E8+1%2F%281%2Bx%5E%281%2F3%29%29+dx

Probier es einfach mal aus.

Comments

Die Step by Step solution gibt es leider nur für die Personen mit einem Pro account, den habe ich leider nicht.

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Bei mir klappt das. Du musst dich nur registrieren. Pro habe ich (Irrtum vorbehalten) nicht.

Substitution dort u=Dritte Wurzel aus x.

Nachher folgt noch eine Polynomdivision. Partialbruchzerlegung ist nicht nötig.

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Hallo MatheCoach. ein Hinweis zu wolframalpha: Falls dieser Service doch noch vollständig kostenpflichtig werden sollte, so sind all Ihre Links zu "Lösungen" nichtig / obsolete.

Wäre es nicht besser, die Lösung hier gleich zu hinterlassen und den Link zu w.alpha darunter zu noteiren?

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Das Problem daran ist. Das man es als Bild nur bei Wolfram Alpha im Pro Modus Abspeichern kann. Ich kann also nur den Text bei Wolfram Alpha kopieren. Hier werden allerdings beim Kopieren mir keine Zeilenwechsel eingefügt, sodass das ganze hier sehr unleserlich wird.

Aber ich denke Wolfram Alpha wird auch nicht kostenpflichtig werden. Es ist schon immer registrierungspflichtig für Step by Step Lösungen. Und möchte man mehr als nur eine Auflösung einer Gleichung muss man eh schon bezahlen. Also ich nutze z.B. auch die kostenpflichtige Wolfram Alpha App auf meinem Smartphone. Allerdings kostet die ja auch nur einmal beim Kauf und dann nicht mehr.

Hier wäre die Lösung mit Cut & Paste

Take the integral: integral 1/(x^{1/3}+1) dx For the integrand 1/(x^{1/3}+1), substitute u = x^{1/3} and du = 1/(3 x^{2/3}) dx: = 3 integral u^2/(u+1) du For the integrand u^2/(u+1), do long division: = 3 integral (u+1/(u+1)-1) du Integrate the sum term by term and factor out constants: = -3 integral 1 du+3 integral u du+3 integral 1/(u+1) du For the integrand 1/(u+1), substitute s = u+1 and ds = du: = 3 integral 1/s ds-3 integral 1 du+3 integral u du The integral of 1/s is log(s): = 3 log(s)-3 integral 1 du+3 integral u du The integral of 1 is u: = 3 log(s)-3 u+3 integral u du The integral of u is u^2/2: = 3 log(s)+(3 u^2)/2-3 u+constant Substitute back for s = u+1: = (3 u^2)/2-3 u+3 log(u+1)+constant Substitute back for u = x^{1/3}: Answer: | | = (3 x^{2/3})/2-3 x^{1/3}+3 log(x^{1/3}+1)+constant

Wie gesagt fehlen hier sämtliche Umbrüche. Allerdings sieht es in Wolfram Alpha eh durch die Verwendung mathematischer Zeichen viel schöner aus.

Answer 3

\( \int \limits_{0}^{8} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x}} \)

Substitution:

\(u=1+\sqrt[3]{x}\)

\(\sqrt[3]{x}=u-1|^{3}\)

\(x=(u-1)^{3}\)

Ändern der Integralgrenzen, so benötigt man keine Rücksubstitution.

Untere Grenze ist \(x=0\)    →   \(u=1\)

Obere Grenze ist \(x=8\)    →   \(u=1+\sqrt[3]{8}=3\)

\( dx= 3 \cdot (u-1)^{2}du  \)

\( \int \limits_{0}^{8} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x}}\\=\int \limits_{1}^{3}\frac{3 \cdot (u-1)^{2}}{u}du\\=3\int \limits_{1}^{3}\frac{u^2-2u+1}{u}du\\=3\int \limits_{1}^{3}(u-2 +\frac{1}{u} )du\\=3[0,5u^2-2u+\ln(u)]_{1}^{3}\\=3[4,5-6+\ln(3) ]-3[0,5-2-\ln(1)]\\=3[-1,5+\ln(3) ]-3[-1,5]\\=-4,5+3\ln(3)+4,5\\=3\ln(3)\)