Wie berechnet man folgendes Integral? ∫_(b)^1 (x-b)^{1/4} * x dx

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter \( 0<b<1 \) den Wert des Integrals \( \int \limits_{b}^{1}(x-b)^{1 / 4} \cdot x d x \)

Kann mir jemand Schritt für Schritt zeigen, wie man diese Integralrechnung berechnet ? ∫_(b)^1 (x-b)^{1/4} * x dx

Answer 1

Du brauchst keine part. Integration.

Substituiere

z=x-b

dz/dx= 1

Ersetze x durch

x=z+b durch umstellen .

dann bekommst Du

=∫ z^{1/4} (b+z)dz

multipliziere das Integral aus, dann hast Du 2 Integrale.

Resubstituiere zum Schluß.

Answer 2

f(x) = (x - b)^{1/4}·x

F(x) = 4/45·(x - b)^{1/4}·(5·x^2 - b·x - 4·b^2)

F(1) - F(b) = 4/45·(1 - b)^{1/4}·(5·1^2 - b·1 - 4·b^2) - 4/45·(b - b)^{1/4}·(5·b^2 - b·b - 4·b^2)

F(1) - F(b) = - 4/45·(1 - b)^{1/4}·(4·b^2 + b - 5)

Comments

Das scheint leider nicht richtig zu sein, da die Lösung 4/5·(1-b)^5/4-16/45·(1-b)^9/4 ist.

Mir geht es auch hauptsächlich um den 2. Schritt, wo du die Stammfunktion hinschreibst, ich möchte wissen, wie du auf diese kommst. Hast du Substitution oder partielle Integration verwendet. Bitte verdeutliche mir das etwas. Danke.

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Partielle Integration dürfte helfen.

∫ (x - b)^{1/4}·x dx = 4/5·(x - b)^{5/4}·x - ∫ 4/5·(x - b)^{5/4}·1 dx

∫ (x - b)^{1/4}·x dx = 4/5·(x - b)^{5/4}·x - 16/45·(x - b)^{9/4}

∫ (x - b)^{1/4}·x dx = 4/5·(x - b)^{5/4}·(x - 4/9·(x - b))

∫ (x - b)^{1/4}·x dx = 4/5·(x - b)^{1/4}·(x - b)·(x - 4/9·(x - b))

∫ (x - b)^{1/4}·x dx = 4/45·(x - b)^{1/4}·(5·x^2 - b·x - 4·b^2)

Ich habe also die Stammfunktion nur etwas vereinfacht. Sollte bei deiner Lösung die Du gegeben hast auch gehen.

4/5·(1 - b)^{5/4} - 16/45·(1 - b)^{9/4}

= (1 - b)^{1/4}·(4/5(1 - b)^{4/4} - 16/45·(1 - b)^{8/4})

= (1 - b)^{1/4}·(4/5·(1 - b) - 16/45·(1 - b)^2)

= (1 - b)^{1/4}·(4/5·1 - 4/5·b - 16/45·b^2 + 32/45·b - 16/45)

= (1 - b)^{1/4}·(- 16/45·b^2 - 4/45·b + 4/9)

= -4/45·(1 - b)^{1/4}·(4·b^2 + b - 5)

Das sieht also wie meine Lösung aus. Also nicht die Form ist entscheidend sondern der Wert.