Maximum und Minimum auf einer Menge berechnen. f: ℝ^2->ℝ , f(x,y)=x^3-2xy+y^3 und M= {(x,y)∈ℝ^2 |x≥0, y≥0, x+y≤1}

Question

Sei f: ℝ² -> ℝ , f(x,y)=x³-2xy+y³ und sei M=  {(x,y)∈ℝ² | x≥0, y≥0, x+y≤1}

EDIT: Erste Version war: f(x,y)=x³-2xy+3y^3. 

a) bestimmen Sie die kritischen Stellen von f und die lokalen maxima und Minima von f.

Die kritischen Stellen von f sind {(0,0),(2/3,2/3)}.

f hat in (0,0) kein lokales extremum und in (2/3,2/3) ein striktes lokales Minimum.

b) berechnen Sie sas Maximum und Minimum der Funktion auf M.

Hier hab ich raus, dass das Max=1 und min=-8/27

Könntest jemand sagen ob ich bei der b) richtig liege?

Comments

An welchen Stellen hast du denn

" Max=1 und min=-8/27 "

gefunden? Anmerkung: Habe noch nichts gerechnet.

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Also bei der randbetrachtung habe ich [-1/4,1] rausbekommen und beim inneren -8/27. die Vereinigung vom Rand von M und vom inneren ist ja dann ganz M, somit bin ich auf [-8/27,1] gekommen

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im Punkt (0 ; 1) , der zu M gehört ist f(0;1)=3 , das ist jedenfalls größer als 1.

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Sorry hab mich vertippt! Die Funktion lautet f(x,y)= x³-2xy+y³

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geht entsprechend ( s. meine Lösung zur falschen Funktion.)

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Du darfst nur Punkte im Innern des kleinen Dreiecks mit den Ecken (0,0), (1,0) und (0,1) einsetzen hier:

~plot~ 1-x;0;x=0; ~plot~

Die Punkte  [-1/4,1]  und [-8/27,1]  liegen daher nicht im fraglichen Gebiet.

EDIT: Funktionsgleichung ist nun korrigiert. 

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wenn du den folgenden Link anklickst, bei  "Formular for f(x,y)"  am Ende des Funktionsterms eventuelle " \ " beseitigst und  " Plot 3D Graph " anklickst, erhältst du eine 3D-Darstellung von f(x,y) im Bereich  0 ≤ x,y,≤ 1:

<a href="http://www.livephysics.com/tools/mathematical-tools/online-3-d-function-grapher/?xmin=0&xmax=1&ymin=0&ymax=1&zmin=auto&zmax=Auto&f=x%5E3-2%2Ax%2Ay%2By%5E3" title="Online Function Grapher[$f]"></a>

(Nur die vordere Hälfte gehört natürlich zum fraglichen Gebiet)

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Hallo rechne die Aufgabe gerade auch zur Klausurvorbereitung und verstehe nicht warum man -1/4 nicht nehmen darf?!

Man betrachte die dritte Seite:

f(x,1-x)= 5x^2-5x-1

leitet man das ab und setzt gleich 0 bekommt man für x=1/2  was im defbereich liegt. Das kann man in die obige Funkton einsetzten und erhält -1/4, was dann verglichen mit den anderen werten das globale min wäre.

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" verstehe nicht warum man -1/4 nicht nehmen darf?! "

Die Einschränkungen sind hier definiert: M = {(x,y)∈ℝ² | x≥0, y≥0, x+y≤1} 

x≥ 0 sagt dir, dass x = -1/4 verboten ist. Vgl. meine Zeichnung im Kommentar oben. 

Bei Wolfgangs Link musste ich einen backslash aus der Funktionsgleichung entfernen und dann Plot3D wählen. Dann erschien so was: 

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x ist doch 1/2 und das Ergebnis ist dann -1/4

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Welches Ergebnis? gegen x=1/2 spricht auf den ersten Blick nichts.

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wenn man x= 1/2 in die fkt einsetzt, y wäre wie oben erwähnt 1-x also auch 1/2. setzt man beide werte ein erhält man -1/4, was das min der betrachteten seite und auch das gl min wäre

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oder stimmt das nicht?

Answer 1

Du hast doch 3 Randstrecken:

von (0;0) bis (1;0) da liegen Punkte von der Art ( x ; 0)

und f(x;0) = x^3 für x von 0 bis 1 ist also maximal bei x=1 mit Maximalwert  1

ebenso

von (0;0) bis (0;1) da liegen Punkte von der Art ( 0 ; y)

und f(0;y) = 3*y^3 für y von 0 bis 1 ist also maximal bei y=1 mit Maximalwert  3

Die Strecke liegt auf der Geraden   y = 1 - x   für x von 0 bis 1

f( x ; 1-x) = -2x^3 + 11x^2 - 11x + 3  hat bei x=0 seinen

größten Wert nämlich 3.

Also ist an den Rändern der größte Wert 3 und wird im Punkt ( 0;1) angenommen.

Wenn bei den kritischen Punkten kein größerer Wert ist,

ist das das globale Max.