Globales Minimum / Maximum bestimmen. g(x,y)=exp(-f(x,y)^2)

Question

Ich habe die folgende Funktion f gegeben

f(x,y)=15x^2+3xy+97y^2+4y+10 hierfür habe ich bereits gezeigt durch partielles Ableiten, dass es ein globales Minimum gibt.

Ich soll nun für

g(x,y)=exp(-f(x,y)^2) das globale Maximum und Minimum bestimmen. Nur wie soll ich das machen? Ich habe hier wie bei der f) partielles Ableiten versucht, aber das wird zu groß...

Comments

Kennst du die Kettenregel?

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Soll das eine Antwort sein oder ein Kommentar?

Answer 1

Die Funktion f(x,y) scheint nur ein einziges Extremum zu besitzen.

Wieviele wird dann wohl eine Exponentialfunktion, die mit dieser Funktion verkettet ist, haben ?

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Also zusätzlich hatte ich für f die stationären Punkte

y=-40/1937

x=4/1937

berechnet

(Um auf deine Frage zurück zukommen, sie hätte dann 1 Extremum. )

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Die Ableitung der Funktion f(g(x,y) hat die Form $$f'(g(x,y)=f'(g) \cdot g'(x,y)$$

Die Nullstellen der inneren Funktion werden auch Nullstellen der verketteten Funktion sein. zusätzlich kommen die Nullstellen der äußeren Funktion in Betracht:

$$0=f'(g) $$

Die äußere Funktion lautet in unserem Beispiel $$ f(g)=e^{-g^2}$$ und deren Ableitung folglich $$ f'(g)=2 g \cdot e^{-g^2}$$ Nullsetzung : $$0=2 g \cdot e^{-g^2}$$ Der Exponentialteil wird nie Null - aber der Linearteil davor kann zu Null werden! !

$$0=2 g $$

Nun müssen wir alle Stellen finden, für die diese Bedingung vorkommen kann:

$$ 0=15x^2+3xy+97y^2+4y+10 $$

Das gibt zusätzliche kritische Punkte - doch nicht sooo leicht ...

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... aaaber Glück gehabt - die Funktion hat keine reellen Nullstellen!