Isoliertes (globales) Minimum bestimmen

Question

meine Aufgabe:

Ich bin etwas ratlos. Ich habe damit angefangen die A'(x) zu bestimmen. Mein Ergebnis: A'(x) = (x^λ*(λ-a)-c)/x^2.

Jetzt komme ich nicht weiter. In der Vorlesung haben wir keine Definition für ein "isoliertes globales Minimum" bekommen.

Für Tipps wäre ich dankbar.

& bleibt gesund

Answer 1

Hallo

A(x)=a*x^λ-1+b+c/x

ein globales Min ist die niedrigste Stelle der Funktion  die finden du hier durch A'=0 theoretisch musst du dann untersuchen. ob A' links davon immer< 0 rechts davon immer >0 ist, dann ist es ein isoliertes globales Min.

Gruß lul

Comments

Wenn ich A'(x) =  0 und nach x auflöse erhalte ich: x= \( \sqrt[λ]{\frac{1}{(a*λ-a)-c}} \)

Wie untersuche ich jetzt, ob wie sich A'(x) links und rechts davon verhält?

Ich habe probiert mir den Graphen zu plotten, aber das hat mir meinem Programm nicht funktioniert.

LG

---

Wenn ich A'(x) =  0 und nach x auflöse erhalte ich: x= \( \sqrt[λ]{\frac{1}{(a*λ-a)-c}} \)

Kontrolliere bitte Deine Rechnung noch einmal. Ich habe:$$C(x)=ax^{\lambda} + b x +c \\ A(x) = \frac{C(x)}{x} = ax^{\lambda-1} + b+ cx^{-1}\\ A'(x) = a(\lambda -1)x^{\lambda -2} - cx^{-2} \to 0$$und das kann man umformen zu$$\begin{aligned} a(\lambda -1)x_{\text{opt}}^{\lambda -2} &= cx_{\text{opt}}^{-2} &&|\, \cdot x_{\text{opt}}^2\\ a(\lambda -1)x_{\text{opt}}^{\lambda} &= c \\ x_{\text{opt}} &= \sqrt[\lambda]{ \frac{c}{a(\lambda -1)}} \end{aligned}$$Mit \(a,\,c \gt 0\) und \(\lambda \gt 1\) existiert immer ein \(x_{\text{opt}} \gt 0 \in \mathbb R\)

---

Ich habe probiert mir den Graphen zu plotten, aber das hat mir meinem Programm nicht funktioniert.

unten siehst Du den Graphen von \(A(x)\) mit \(a=c=1\) und mit \(\lambda = 1,5\), \(\lambda = 1,7\) und \(\lambda = 2\).

~plot~ x^(1.5-1)+1/x;x^(1.7-1)+1/x;x^(2-1)+1/x;[[-1|12|-1|12]] ~plot~

Umso größer \(\lambda\) ist, desto mehr steigt die Funktion \(A(x)\) mit wachsendem \(x\).

---

Vielen Dank für deine Mühe und deine ausführliche Antwort. Das hat mir sehr geholfen. Leider habe ich in der Tat einen Umformungsfehler bei der Auflösung der ersten Ableitung nach x gemacht.

Eine Frage habe ich noch:

Wir haben ja jetzt x_{opt .} Laut Aufgabe muss ich aber zeigen, dass es sich um ein isoliertes globales Minimum handelt. Muss ich dafür noch einen anderen Beweis machen?

LG & nochmals vielen Dank!

---

Muss ich dafür noch einen anderen Beweis machen?

Ja - zunächst mal wäre zu zeigen, dass es ein Minumum ist. Dazu muss \(A''(x_{\text{opt}})>0\) sein. Tipp: Nachdem Du \(A''(x)\) berechnest hast, klammere \(x^{-3}\) aus.

Um zu zeigen, dass es ein globales Minimum ist, muss gezeigt werden, dass \(A(x)\) im Intervall \((0\dots x_{\text{opt}})\) monoton fallend und im Intervall \((x_{\text{opt}} \dots \infty)\) monoton steigend ist. Was sich aber auch erübrigt, da es für \(x_{\text{opt}}\) im Definitionsbereich \((0\dots \infty)\) und \(x \in \mathbb R\) nur genau eine Lösung gibt. Wäre \(A(x)\) nicht monoton steigend nach bzw. fallend vor \(x_{\text{opt}}\), so müste es mehr als die eine Lösung geben.

Ach ja - und all das setzt Stetigkeit von \(A(x)\) im Definitionsbereich voraus. Aber das ist erfüllt.