Wahrscheinlichkeit für Punkte auf Dartscheibe

Question

Aufgabe 1 von Aufgabenvorschlag III

In einer Karlsruher Studenten-Wohngemeinschaft wird gerne gespielt. Es werden Wurfpfeile auf die abgebildete Dartscheibe geworfen. Bei ihr hat der Innenkreis hat einen Durchmesser von \( 10 \mathrm{cm} \) und die Ringe sind 5 cm breit. Bei jedem Sektor ist angeben, wie viele Punkte man bei einem Treffer erhalt.

Zunächst werfen Laien. Sie treffen die Scheibe 9mal bei 10 Würfen. Wenn sie treffen, wird kein Bereich der Scheibe bevorzugt.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Laie pro Wurf einen \( (5,8 \text { oder } 10) \) Punkt(e)?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit fur einen Laien einen Punkt zu erreichen im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit 10 Punkte zu erzielen?

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laie mindestens 8 Punkte (höchstens 8 Punkte) erzielt? Nun spielen die Experten. Sie treffen die Scheibe immer. Dabei trift ein Pfeil mit der Wahrscheinlichkeit von \( 44 \% \) den Innenkreis und die Wahrscheinlichkeiten fur die weiteren Ringe verhalten sich - von innen nach außen betrachtet - wie 4: 2: 1

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Experte pro Wurf einen \( (5,8 \text { oder } 10 \) ) Punkt(e)?

e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Experte mindestens 8 Punkte (höchstens 8 Punkte) erzielt?

f) Ein Experte möchte so lange weiter trainieren, bis er mit der Wahrscheinlichkeit von \( 85 \% \) mindestens 8 Punkte erzielen kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müsste er pro Wurf dann einen \( (5,8 \text { oder } 10) \) Punkt(e) erreichen?

Problem:

Bei dieser Aufgabe brauche ich Hilfe, und zwar muss man wenn man z. B. die Wahrscheinlichkeit 8 Punkte zu bekommen zu dem günstigen/möglichen Flächeninhalt auch noch die Wahrscheinlichkeit multiplizieren (9/10), dass man überhaupt die Dartscheibe trifft?

Wie drücke ich bei b) das Verhältnis aus P(10Punkte)/ P(1Punkt) oder P(1Punkt)/ P(10 Punkte)?

Answer 1

und zwar muss man wenn man zb die Wahrscheinlichkeit 8 Punkte zu bekommen zu dem günstigen Flächeninhalt/ möglichen Flächeninhalt auch noch die wahrscheinlichkeit multiplizieren (9/10) dass man überhaupt die Dartscheibe trifft?

Ja. Da muss man mit 9/10 multiplizieren. Die Flächen kannst du bestimmt selbst berechnen. Da nur das Verhältnis gefragt ist, kannst du annehmen, dass die Ringe die Breite 1 haben. Das π sollte sich wegkürzen. Die Quadrate bei den Radien sind aber relevant.

Comments

Achtung: Ich habe hier d) die Experten gerechnet! Aber du siehst vermutlich auch hieran, wie man das Verhältnis angeben muss.

und bei d) wie drücke ich das Verhältnis aus P(10Punkte)/ P(1Punkt) oder P(1Punkt)/ P(10 Punkte) aus?

44% in der Mitte

Heisst 56% im Verhältnis 4:2:1 teilen. Man braucht 4+2+1 = 7 Teile.

56 : 7 = 8

P(1) = 1*8 = 8%

P(5) = 2*8 = 16%

P(8) = 4*8 = 32%

Kontrolle: Summe muss 100% sein.

P(10) / P(1) = 44 / 8 = 11/2 = 5.5

Bitte nachrechnen!

Answer 2

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Laie pro Wurf einen (5, 8 oder 10) Punkt(e)?

P(1) = 0.9 * (20^2 - 15^2) / 20^2 = 39.38 %
P(5) = 0.9 * (15^2 - 10^2) / 20^2 = 28.13 %
P(8) = 0.9 * (10^2 - 5^2) / 20^2 = 16.88 %
P(10) = 0.9 * 5^2 / 20^2 = 5.63 %

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Laien einen Punkt zu erreichen im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit 10 Punkte zu erzielen?

P(1) / P(10) = 0.3938 / 0.0563 = 3938/563 ~ 7 : 1

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laie mindestens 8 Punkte (höchstens 8 Punkte) erzielt?

P(8, 10) = 0.1688 + 0.0563 = 22.51 %
P(0, 1 , 5, 8) = 0.1 + 0.3938 + 0.2813 + 0.1688 = 94.39 %

Nun spielen die Experten. Sie treffen die Scheibe immer. Dabei trifft ein Pfeil mit der Wahrscheinlichkeit von 44% den lnnenkreis und die Wahrscheinlichkeiten für die weiteren Ringe verhalten sich von innen nach außen betrachtet - wie 4 : 2 : 1.

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Experte pro Wurf einen (5, 8 oder 10) Punkt(e)?

P(1) = 0.56 * 1 / 7 = 8 %
P(5) = 0.56 * 2 / 7 = 16 %
P(8) = 0.56 * 4 / 7 = 32 %
P(10) = 44 %

e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Experte mindestens 8 Punkte (höchstens 8 Punkte) erzielt?

P(8, 10) = 0.32 + 0.44 = 76 %
P(1, 5, 8) = 0.08 + 0.16 + 0.32 = 56 %

f) Ein Experte möchte so lange weiter trainieren, bis er mit der Wahrscheinlichkeit von 85% mindestens 8 Punkte erzielen kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müsste er pro Wurf dann einen (5, 8 oder 10) Punkt(e) erreichen?

Unter der Voraussetzung das Verhältnis bleibt bei 4 : 2 : 1

P(10) = x

P(8, 10) = x + (1 - x) * 4 / 7 = 0.85
x = 65%

P(1) = 5 %
P(5) = 10 %
P(8) = 20 %
P(10) = 65 %

Comments

hi, also ich habe alle ergebnisse genauso wie du, außer bei d)

da habe ich bei P(8Punkten) 32% P(5Punkte)=16% P(1Punkt) =8%

ich habe die 4:2:1 von innen nachaußen gesehen also 4 --> Bei 8 Punkten ;)

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bei f) habe ich es auch anders herum,

wobei ich hier auch nicht verstehe wie man das Verhältnis 4:2:1 berechnen soll?

warum nehme ich bei 8 Punkten jetzt die warhscheinlichkeit 0,15? ich dachte das bezieht sich dann nur auf 1punkt und 5 Punkte?

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Ja. Stimmt. Das sollte anders herum lauten.