Hi,
zu (i.a)
mit \( \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \) als Stichprobenmittelwert und \( n = 12 \) gilt, weil die \( x_i \) unabhängig und gleich normalverteilt sind, das auch der Stichprobenmittelwert normalverteilt ist und zwar mit Mittelwert \( \mu \) und Varianz \( \frac{\sigma^2}{n} \). Daraus folgt, dass die Größe \( Z = \frac{\overline{X} -5}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \) standard normalverteilt ist mit der Verteilungsfunktion \( \Phi(x) \), d.h. der Mittelwert ist 0 und die Varianz ist 1.
Die Wahrscheinlichkeit bei (i.a) ist dann
$$ 1 - [ \Phi(1.796) - \Phi(-1.796) ] = 0.072 $$
zu (ii.a)
Die Größe \( Z = \frac{\overline{X} -5}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \) ist standard normalverteilt und es gilt
$$ -c \sqrt{12} < Z = \frac{\overline{X} -5}{\frac{\sigma}{\sqrt{12}}} < c \sqrt{12} $$
D.h es gilt
$$ \Phi(c \sqrt{12}) - \Phi(-c \sqrt{12}) = 0.98 $$ Weil \( \Phi(-x) = 1 - \Phi(x) \) gilt, folgt
$$ \Phi(c \sqrt{12}) = 0.99 $$ und daraus folgt $$ c \sqrt{12} = 2.33 $$ also $$ c = 8.071 $$
