Keine Antwort - ich weiss ;)
https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter_Raum
Kompakt heisst erst mal "abgeschlossen und beschränkt".
" Jede unendliche Folge in K hat einen Häufungspunkt in K. "
K ist daher nicht "unendlich" weit ausgedehnt und keine Folge kann einen Punkt ausserhalb von K hin konvergieren.
nicht unendlich weit ausgedehnt: du kannst nicht immer in einem Abstand von sagen wir 0.0001 einen weiteren Punkt von K finden.
keine Folge kann einen Punkt ausserhalb von K hin konvergieren, denn Konvergenz zu a bedeutet, dass sich ausserhalb von beliebig kleinen Umgebungen von a nur endlich viele Punkte befinden.
Du findest in deinen Unterlagen bestimmt noch genauere und formalere Informationen, die du dann im Beweis brauchen kannst.
Vielleicht wirst du aber bereits bei den "ähnlichen Fragen" z.B. https://www.mathelounge.de/28955/sei-k-kompakt-und-f-stetig-man-zeige-dass-f-k-kompakt-ist fündig.
