Für mich ein Heimspiel. Ich bin Fan von ===> Edward Nelsons NSA;IST ( NSA = Non-Standard Analysis ; IST ist eine Abkürzung seiner drei Axiome. ) Ein ausgezeichnetes Lehrbuch ist Alain Robert bei Wiley; viel Spaß.
Ich hab mal den Satz gelesen " Basic macht Freude. " Sicher; genau so empfinde ich das auch. Seit Nelson macht Analysis wieder richtig Spaß. Das Ganze hier kann nur ein Steil-oder Crashkurs sein. Wenn man sich erst mal zu Recht kennt, ist dein Satz in der Nelsondiktion trivial. Um aber Zahl reichen Irrtümern vorzubeugen, verabreden wir, dass wann immer wir NSA betreiben, sollen Großbuchstaben ausschließlich für Standardobjekte reserviert sein so wie griechische für inf(initesimale) Größen.
Definition 1 ( begrenzte Elemente )
Ein Vektor x € |R ^ N ( sollte schon " groß N sein; das ist nicht ganz unproblematisch ) möge begrenzt heißen ( englisch: " limited " , falls
(E) M > 0 : | x | < M ( 1a )
Und hier nun lauert schon der erste Irrtum; begrenzt ist nicht das Selbe wie beschränkt ( englisch: " bounded " ) Dass ein einzelnes Element beschränkt ist, ist ja trivial - dass es begrenzt ist, keines Wegs. Die zu ( 1a ) analoge Bedingung für Beschränkt müsste heißen
(E) m > 0 : | x | < m ( 1b )
Wir wollen uns merken: Nelson ist durchaus " case sensitive " ; die klassische " Schwarzweiß-Analysis " ist es nicht.
Warum sind begrenzte Elemente so wichtig? Es gilt nämlich der Schattensatz
Satz 1 ( Schattensatz )
Sei x begrenzt. Dann existiert die eindeutige Zerlegung
x = X0 + € ( 2a )
X0 = Standard =: Schatten ( x ) ( 2b )
Es bleibt also praktisch nur ein vernachlässigbarer inf Rest. Übrigens: kannst du dich noch an das ===> Supremumsaxiom erinnern? Alle monotonen beschränkten Folge konvergieren.
Genau jenes Axiom benutzt Nelson nämlich zum Beweis des Schattensatzes; kein Interesse?
Und jetzt müssen wir noch zwei Lehrsätze einführen, die sich mit kompakten Mengen bzw. stetigen Funktionen beschäftigen.
Satz 2
Eine Teilmenge K des |R ^ N ist kompakt <===>
1) K ist begrenzt: | K | < M ( 3a )
2) x € K ===> x* € K ( 3b )
Satz 2 ist schon mehr als nur ein Satz. Nelson bezeichnet solcher Art Sätze als ===> implizite Definitionen; was das genau ist, würde in der Kürze der Zeit zu weit führen. In einem gewissen Sinne ist es aber berechtigt, davon zu sprechen, dass sie an Stelle der Definitionen der " Schwarzweißanalysis " treten.
Definition 2
Eine Funktion y = f ( x ) heiße inf stetig, falls
f ( x + € ) = f ( x ) + µ ( 4 )
Eine inf Änderung in x hat eine höchstens inf Änderung in y zur Folge.
Satz 3
y = F ( x ) ist stetig in X0 <===> F ist inf stetig in X0
Wir müssen jetzt nur noch Satz 2 und 3 kombinieren. Stellen wir mal Punkt 1) ( 3a ) zurück; die Begrenztheit von F ( K ) Sei also y € F ( K ) , y begrenzt; zu zeigen y * € F ( K ) Dann existiert x € K mit y = F ( x ) Nun ist K aber kompakt, folglich x* € K und mit Satz 3
F ( x* ) - F ( x ) =: µ = inf ( 5a )
Nun gibt es aber ein wichtiges Lemma:
Y0 = F ( X0 ) ist Standard ( 5b )
D.h. ( 5ab ) zusammen mit dem Schattensatz besagen y * = F ( x* ) . Mit anderen worten: Wir haben ein geeignetes x0 € K gefunden mit F ( x0 ) = y* ; als Bildpunkt von K liegt y* somit in F ( K )
Zu dem Thema Begrenztheit von F ( K ) Es kann durchaus der Fall eintreten, dass F stetig und F ( x ) unbegrenzt ist; Nelson selber gibt das Beispiel der Einheitshyperbel y = 1 / x . Und zwar wenn x = € = inf, folgt F ( x ) = unbegrenzt.
In unserem Fall müssen wir die gesamte obige Argumentationskette ein zweites Mal durchlaufen. Widerspruchsbeweis; F ( K ) enthalte ein unbegrenztes y Dann finden wir aber wieder ein x , welches ( 5a ) befriedigt. Widerspruch.
