" Also dass die Extremstellen berechnet werden verstehe ich, aber warum? "
Da steht " Berechnen Sie x so, dass der Flächeninhalt [....des Rechtecks (Containers)] maximal wird" . Das ist die typische Fragestellung für Extremalwertaufgaben. Hier gilt es die Maximalstelle einer Zielfunktion zu finden.
Zuerst wird eine Funktion A aufgestellt die jedem x (halbe Breite) eine Rechtecksfläche zuordnet. Es ist eine Polynomfunktion.
Wenn man die Ableitung 0 setzt, bekommt man die lokalen Extremalstellen der Funktion.
" Und wofür brauche ich den Limes? "
Theoretisch könnte es sein, dass am Rand des Definitionsbereichs das Maximum liegt, obwohl dort die Ableitung nicht 0 ist.
Die haben in der Lösung ungeschickterweise x = 0 und x = 2.5 gleich schon aus dem Definitionsbereich von A ausgeschlossen, da sie sich gedacht haben, dass mit x=0 und mit x=2.5 nur ein Strich und keine Rechtecksfläche mehr vorliegt. Man könnte genauso gut x = 0 und x=2.5 in den Definitionsbereich einbeziehen. Fläche des "grenzwertigen Rechtecks ist dann einfach 0 (also sowieso nicht maximal).
Wenn man nun aber 0 und 2.5 ausgeschlossen hat, muss man noch einen Grenzwert ausrechnen mit "realistischen Rechtecken" um festzustellen, dass das globale Maximum nicht am Rand liegt.
Wenn man dann mal die einzige Extremstelle der Polynomfunktion im Definitionsbereich gefunden hat, diese einen positiven Funktionswert hat und an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervalls) die Grenzwerte 0 sind, hat man begründet, dass die zuerst gefundene Extremalstelle die globale Maximalstelle der definierten Flächenfunktion A(x) ist.
