Bruch vereinfachen (Partialbruchzerlegung)

Question

stehe gerade auf dem Schlauch und kann nicht nachvollziehen, wie folgende Vereinfachung durchgeführt wurde.

Wäre sehr hilfreich, wenn mir das jemand erläutern könnte!

Danke

Den Nenner faktorisieren:

\( =\int \frac{x^{2}-x+4}{(x-1)\left(x^{2}-2 x+5\right)} d x \)

Partialbruchzerlegung durchführen:

\( =\int \frac{1}{x^{2}-2 x+5}+\frac{1}{x-1} d x \)

Answer 1

x^2 - x + 4

= x^2 - 2x + 5 + x - 1

Daher

(x^2 -x + 4)/((x^2 - 2x + 5)(x-1))

= (x^2 - 2x + 5)/((x^2 - 2x + 5)(x-1)) + (x-1)/((x^2 - 2x + 5)(x-1))

= 1/(x-1) + 1/(x^2 - 2x + 5)

Wenn du weniger offensichtliche Partialbruchzerlegungen machen möchtest, lies z.B. mal

https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung 

Comments

@Lu: Dieser Spezialfall des Verfahrens ist nur wegen der speziellen Struktur von Zähler und Nenner möglich, richtig?

Eine elegante Rechenvariante.

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 " Dieser Spezialfall des Verfahrens ist nur wegen der speziellen Struktur von Zähler und Nenner möglich, richtig?"

Ich denke schon. Kommt halt drauf an wie lang man "scharf hinschauen" muss, bis man eine Zerlegung "sieht". Da kann die allgemeine Rechnung, wie sie Grosserloewe gemacht hat, bald mal schneller sein. 

Answer 2

Allgemein über Ansätze für die PBZ findest Du u.a hier etwas:

https://www-user.tu-chemnitz.de/~gsor/lehre/m2etit/partialbruchzerlegung.pdf

Das funktioniert so:(Partialbruchzerlegung)

 

Comments

Man kann hier, ebenso wie in vielen anderen Fällen, den Koeffizintenvergleich vereinfachen oder gleich ganz einsparen, wenn man unmittelbar nach dem Erweitern mit dem Hauptnenner, hier also nach der zweiten Zeile, mal ein paar Werte für x einsetzt:

Aus \(x=1\) folgt sofort \(A=1\). Dies wieder eingesetzt ergibt \(1=Bx+C\), woraus \(B=0\) und \(C=1\) folgt.

Damit ist man schon fertig und hat eine halbe Seite gespart.

Answer 3

Hallo Mandy,

hier   findest du einen Online-Rechner, der dir nicht nur  Partialbruchzerlegungen berechnet sondern auch den jeweiligen Rechenweg erläutert.

Gruß Wolfgang