Partialbruchzerlegung: Zählergrad höher als Nenner daher Polynomdivision?

Question

Zerlegen Sie die Funktion $$ f ( x ) = \frac { 2 x ^ { 5 } - 7 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 7 x + 3 } { x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + x } $$ in Partialbrüche.

Da der Zählergrad höher ist, müsste ich ja zunächst durch Polynomdivision den Grad senken. Jedoch finde ich keine Nullstellen. Hab ich einen falschen Ansatz?

Answer 1

die Polynomdivision Zähler durch Nenner:

(2·x⁵ - 7·x⁴ + 12·x³ - 12·x² + 7·x + 3) : (x² - 2·x² + x)   =  2·x² - 3·x + 4 + (-x² + 3·x + 3) / (x·(x - 1)²)

erfolgt mit Rest.

Der ganzrationale Anteil  ist leicht integrierbar, für den Rest macht man eine Patialbruchzerlegung:

(-x² + 3·x + 3) / (x·(x - 1)²)  = A / x + B / (x-1) + C / (x-1)²

Rechts auf Hauptnenner bringen, nach x-Potenzen zusammenfassen und dann einen Koeffizientenvergleich der x-Zahlerpotenzen auf beiden seiten durchführen. Das ergibt 3 Gleichungen für A,B und C.

→ A=3, B = -4, C=5

Partialbruchzerlegung:  2·x² - 3·x + 4 + 5/(x - 1)² - 4/(x - 1) +  3/x 

[ Die Einzelbrüche lassen sich dann ggf. elementar integrieren.

Ergebnis:

 2·x³/3 - 3·x²/2 + 4·x - 4·LN(x - 1) + 3·LN(x) - 5/(x - 1) + 2·x³/3 - 3·x²/2 + 4·x ]

Gruß Wolfgang