Wahrscheinlichkeit von Messwerten. Normalverteilt

Question

Hallo ich hab habe folgende Aufgabe und weiß absolut nicht wie ich dran gehen soll.
Messwerte X sind normalverteilt mit µ=12 cm  und σ = 2 cm.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert

a höchstens 15 cm ist

b mindestens 8 cm ist
c um weniger als 6 vom Erwartungswert abweicht

d Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz von 5X an .

Hinweis: Φ(1,5) = 0,9332  Φ(2) = 0,9772 , Φ(3) = 0,9987

Answer 1

Hallo ich hab habe folgende Aufgabe und weiß absolut nicht wie ich dran gehen soll. Messwerte X sind normalverteilt mit µ=12 cm  und σ = 2 cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert

a) höchstens 15 cm ist

P(X ≤ b) = Φ((b - μ) / σ)
P(X ≤ 15) = Φ((15 - 12) / 2) = Φ(1.5) = 0.9332

b) mindestens 8 cm ist

P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 8) = 1 - Φ((8 - 12) / 2) = 1 - Φ(-2) = 1 - (1 - Φ(2)) = Φ(2) = 0.9772

c) um weniger als 6 vom Erwartungswert abweicht

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b - μ) / σ) - Φ((a - μ) / σ)
P(6 ≤ X ≤ 18) = Φ((18 - 12) / 2) - Φ((6 - 12) / 2) = Φ(3) - Φ(-3) = Φ(3) - (1 - Φ(3)) = Φ(3) - 1 + Φ(3) = 2*Φ(3) - 1 = 2*0.9987 - 1 = 0.9974

d) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz von 5X an .

E(X) = 5*12 = 60
σ = 5*2 = 10
V(X) = 100

Answer 2

Als Beispiel hier a): Φ((15-12)/2) = Φ(1.5) = 0,9332

Du musst die Ereignisse (hier die Intervalle der Werte der Zufallsgröße in den Argumenten der Verteilungsfunktion P) auf die verteilungskonforme Darstellung P(X≤a) bringen. Anschließend wird auf die Standardnormalverteilung umgerechnet. Die benötigten Werte sind angegeben.

Comments

vielen dank :) und wie geht das mit dem Erwartungswert und der Varianz?

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vielen dank :)
Bitte!

und wie geht das mit dem Erwartungswert und der Varianz?

Das geht nach den Rechenregeln für abgeleitete Zufallsgrößen so:
E(5*X) = 5*E(X) = 5*μ = 5*12 cm = 60 cm und
V(5*X) = 5^2*V(X) = 25*σ^2 = 25*(2 cm)^2 = 100 cm^2