Vollständige Induktion. Summe von Quadratzahlen = n*(n+1) (2n+1) /6?

Question

Ich komme an einem Punkt bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter.

∑(unten: k=0;  oben: n) k^2 = n*(n+1) (2n+1) /6       n∈ℕ,

IA:  n=0

∑(k=0; n=0) k^2 = 0 (0+1)(2*0+1) /6 = 0

IS:

∑(k=0; n+1)k^2 = (n+1)( (n+1) +1) (2 (n+1) +1 / 6

rechte Seite:

(n+1) ( (n+1)+1 (2 (n+1) +1)

= (n+1) (n+2) (2n+3) /6

linke seite:

∑(k=0; n+1) k^2 = ∑( k=0; n) + (n+1)^2

= n (n+1) (2n+1) /6 + (n+1)^2

=n (n+1) (2n+1) 6 (n+1 )^2 /6

Hier komme ich nicht weiter

Danke:)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Summenformel Quadratzahlen: ii)

Stichworte: induktion,summenformel,quadratzahlen,analysis

HILFE ANALYSIS AUFGABE STUDIUM

ich habe jetzt im wintersemester angefangen wirtschaftsmathrmatik zu studieren leider fällt es mir sehr schwer in dieses thema hineinzukommen ich habe mehrere solcher aufgaben bekommen aber verstehe gar nicht wie ich das machen soll ich schreibe ein testat nächste woche kann mir jemand bitte anhand dieser beispiel aufgabe erklähren wie so etwas aufgeschrieben wird und gelöst wird

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EDIT: Bitte deine Frage gemäss https://www.mathelounge.de/schreibregeln stellen. Habe nun mal Überschrift und Tags an ii) angepasst. Und du erkennst das Ergebnis: Die Aufgabe ii) wurde schon häufig gerechnet und diskutiert.

Stelle die andere Frage bitte separat und gib den Text auch als Text ein.

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ii) findest du mehrfach bei den "ähnlichen Fragen". Bsp.

https://www.mathelounge.de/369564/vollstandige-induktion-summe-von-quadratzahlen-n-n-1-2n-1-6 

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Vom Duplikat:

Titel: Die Quadratzahlen Qk werden zu den sogenannten Pyramidenzahlen Pn aufsummiert: Pn := ∑n k2 f.a. nN0 . .......

Stichworte: summenformel,quadratzahlen,pyramidenzahl,studium,formel

 hat jemand eine Idee zu dieser Aufgabe ?

Ich weiß wie das mit der Rekrusionsformel funktioniert, aber kann es einfach nicht auf diese Aufgabe übertragen.

Ich bedanke mich schon mal im voraus.

Die Aufgabe :

Die Quadratzahlen Qk werden zu den sog. Pyramidenzahlen Pn aufsummiert:
 . Betrachte die Folge  der Pyramidenzahlen und die

Folge (Sn)nNo mit Sn = 1/6 ·n·(n+1)·(2·n+1) f.a. nN0 . 

Zeige, dass beide Folgen dieselbe   Rekursionsformel ( mit Startzahl) haben, und folgere daraus, dass sie identisch sind. 

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  Das soll da eigentlich stehen *

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Ich nehme an, dass du das machen darfst wie hier https://www.mathelounge.de/271156/vollstandige-induktion-summenformel-quadratzahlen

und hier https://www.mathelounge.de/369564/vollstandige-induktion-summe-von-quadratzahlen-n-n-1-2n-1-6

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion

Stichworte: induktion

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle m ∈ N gilt :

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang, Ind.voraussetzung und Ind.behauptung habe ich durchgeführt.

Mein Ansatz war :

Müsste (soll ja auf beiden Seiten das selbe stehen ) nicht auf der linken Seite das selbe stehen nach dem Ausmultiplizieren ?

Ich komme links auf :

1/6*(2m^3+4m^2+3m+2)

Wieso ?

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Bis hierher ist es wohl richtig. Fehlt noch das Ende.

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Ja , aber

1/6*(2m3+4m2+3m+2) ist nicht das gleiche wie

1/6*(2m3+9m2+13m+6)

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Was ist 1/6*(2m^3+4m^2+3m+2)?

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Das ist die andere Seite ausmultipliziert:

1/6 * m * (m+1) * (2m+1) + (m+1) ^2  = 1/6*(2m3+4m2+3m+2)

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Das ist doch genau die gleiche Aufgabe wie in deiner Frage

https://www.mathelounge.de/612699/vollstandige-induktion-ablauf

nur mit anderen Buchstaben:  j statt k und  m statt n

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Jetzt habe ich meinen Fehler erkannt.

Ich habe so gesehen die Multiplikation auch auf den rechten ABschnitt übertragen, ohne den Inhalt der Klammer mit der 6 zu multiplizieren.

Danke dir

Answer 1

Vollständige Induktion: ∑ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Comments

Du darfst jetzt überlegen warum es auch gilt, wenn die untere Grenze wie bei mir die 1 einfach die 0 ist.

Warum würde es langen einfach den Induktionsanfang mit der Grenze 0 zu machen und warum bleibt der Induktionsschritt einfach unverändert?

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Ja der laufenden spielt keine rolle;)

Eine Frage habe ich wie kommst du von dem Schritt zum anderen? Was wird aus den (n+1 )^2 ?

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

Danke

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Ich teile beide Seiten durch (n + 1)

Dadurch fällt in jedem Summanden der Faktor (n + 1) weg.

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

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Danke das habe ich jetzt verstanden,

Warum bezieht sich 1/6 nicht auf den ganzen Term, sondern nur auf fettgedruckte. Denn in der Gleichung ist es ja ein Bruch und im Zähler steht n·(2·n + 1) + (n + 1) und im Nenner die 6.

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

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Man Teilt den Summenterm in zwei Summanden auf

Σ (k = 1 bis n + 1) (k²)

Σ (k = 1 bis n) (k²) + (n + 1)²

Nun ersetzt man nur den Linken Summenterm durch den Summenausdruck. Dabei bleibt (n + 1)^2 als einfacher Summand stehen. Darauf bezieht sich also nicht das 1/6.

Answer 2

Du brauchst doch als Ergebnis  1/6 * (m+1)*(m+2)*(2*(m+1)+1)

Das gibt das Ergebnis rechts und links bekommst du

1/6 * m * (m+1) * (2m+1) + (m+1) ^2

=1/6 * m *( 2m^2 + 3m + 1 ) +  m^2 + 2m + 1

= 1/6 *( 2m^3 + 3m^2  + m ) +  6*(m^2 + 2m + 1)/6

= 1/6 *( 2m^3 + 9m^2  + 13m + 6 )

Passt doch alles !

Comments

Ist die Vorgehensweise generell so, dass man alles erst einmal ausmultipliziert und danach wieder zusammensetzt ?

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Oder du schreibst hin, was es geben muss und

rechnest beide Seiten einzeln aus und

zeigst, dass dies jeweils das gleiche ist .

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= 1/6 *( 2m3 + 9m2  + 13m + 6 )

Passt doch alles !

Ja , aber  1/6 *( 2m3 + 9m2  + 13m + 6 ) ist nicht das gleiche wie 
1/6*(2m3+4m2+3m+2) (auf der anderen Seite ausmultipliziert)

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Jetzt habe ich meinen Fehler erkannt.

Ich habe so gesehen die Multiplikation auch auf den rechten ABschnitt übertragen, ohne den Inhalt der Klammer mit der 6 zu multiplizieren.

Danke dir

Answer 3

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)
Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)
1^2 = 1/6·2·3
1 = 1
Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
Stimmt !

Comments

Was ich nicht verstehe ist , dass

1/6*(2m3+4m2+3m+2) nicht das gleiche ist wie  

1/6*(2m3+9m2+13m+6), obwohl am Ende ja die selbe Formel rauskommen soll.

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Wenn du mal die linke Seite zusammenfasst bekommst du:

1/6·m·(m + 1)·(2·m + 1) + (m + 1)^2

= 1/6·(2·m^3 + 3·m^2 + m) + (m^2 + 2·m + 1)

= 1/6·(2·m^3 + 3·m^2 + m) + 1/6·(6·m^2 + 12·m + 6)

= 1/6·(2·m^3 + 3·m^2 + m + 6·m^2 + 12·m + 6)

= 1/6·(2·m^3 + 9·m^2 + 13·m + 6)

Mir ist nicht klar wie du nun genau auf 1/6*(2m^3+4m^2+3m+2) kommst. Vielleicht rechnest du das mal vor.

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ja du hast :

1/6·(2·m3 + 3·m2 + m) + 1/6·(6·m2 + 12·m + 6)

in der rechten Hälfte das 1/6 dazu genommen und den Inhalt der Klammer mit 6 multipliziert.

Jetzt habe ich meinen Fehler erkannt.

Ich habe so gesehen die Multiplikation auch auf den rechten ABschnitt übertragen, ohne den Inhalt der Klammer mit der 6 zu multiplizieren.

Danke dir

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Beachte immer das du bei eigenen Rechnungen immer den vollständigen Rechenweg angeben solltest. Sonst können wir nicht wissen welchen Fehler du nun machst.