Vollständige induktion ∑( k=0 bis n) q^k = 1-q^{n+1} / 1-q

Question

Beweisen sie mit vollständiger Induktion,  dass ∀n ∈ℕ, q≠1 gilt:

∑( k=0 bis n) q^k = 1-q^{n+1} / 1-q

IA:

n=0

∑( k=0 bis n=0) q^0 = 1-q^{0+1} / 1-q

1=1

IS:

∑( k=0 bis n+1) q^k = 1-q^{n+1}+1 / 1-q

∑( k=0 bis n+1) q^k + (n+1)^k = 1-q^{n+2 }/ 1-q

 1-q^{n+1} / 1-q + (n+1)^k = 1-q^{n+2 }/ 1-q

Leider komme ich nicht weiter. Ich wäre über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Der Induktionsschluss (IS) beginnt mit der Induktionsvoraussetzung (IV). Diese ist die Formulierung der Behauptung nach Ersetzen von n durch n-1 und ist hier: Für eine natürliche Zahl n gilt ∑(k=0 bis n-1)q^k= (1-qⁿ)/(1-q). Für den IS wird auf beiden Seiten der nächste Summand (das ist (qⁿ) addiert:

∑(k=0 bis n-1)q^k+ qⁿ= (1-qⁿ)/(1-q)+qⁿ . Formt man nun beide Seiten um (auf der rechten Seite: Hauptnenner, Zähler addieren und zusammenfassen), so entsteht die Induktiosbehauptung (IB): ∑( k=0 bis n) q^k = 1-qⁿ⁺¹ / 1-q.

Comments

Warum arbeitest du mit n-1 man arbeitet doch mit n+1??