Für welche reellen zahlen x ist die ungleichung |x| > 10 |x-3| erfüllt?

Question

Hallo ,

Ich habe folgende Aufgabe versucht selbst zu lösen und bräuchte jemand der dies korrigiert.

Für welche reellen zahlen x ist die ungleichung |x| > 10 |x-3| erfüllt?

Fall 1: x>=0

X > 10 (x-3)

X > 10x - 30

-9x > -30 

X < 10/3

L1: ]-∞; 10/3 [

Fall 2:

X > 3

-X > 10 (-X +3)

-X > -10X + 30

9X > 30

X > 10/3

L2: ] -∞, 10/3 [

Fall 3:  0>x>=3

-X > 10x - 30

-11x > -30

X > 30/11

L3: ]-∞; 30/11 [

Danke

Answer 1

|x|>10|x-3|

Die 3 interessanten Fälle sind x>=3, 0<x<3 und x=<0

x>=3:

x>10(x-3)

x>10x-30

-9x>-30

x<10/3

0<x<3:

x>10(-x+3)

x>-10x+30

11x>30

x>30/11

x<=0:

-x>10(-x+3)

9x>30

x>10/3, Widerspruch, keine zusätzliche  Lösung

--> x€(30/11,10/3)

Du hast bei deinen Fallunterscheidungen teilweise den Betrag falsch aufgelöst oder gar Widersprüche angenommen: 0>x>=3 , es gibt keine reelle Zahl die kleiner als 0 und gleichzeitig größer als 3 ist.

Comments

Wie bestimmt man denn die Fälle??

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Die Fälle bestimmt man mithilfe der Nullstellen der Betragsterme. |x| ändert sich an x=0 und |x-3| an x=3

Es ergibt sich also einmal x größer oder kleiner 0 als Fallunterscheidung und dann noch x größer oder kleiner 3. Verbindet man diese ergibt sich

x kleiner 0 

oder x zwischen 0 und 3 

oder x größer 3