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Beweisen sie mit vollständiger Induktion,  dass ∀n ∈ℕ, q≠1 gilt:

∑( k=0 bis n) qk = 1-qn+1 / 1-q

IA:

n=0

∑( k=0 bis n=0) q0 = 1-q0+1 / 1-q

1=1

IS:

∑( k=0 bis n+1) qk = 1-qn+1+1 / 1-q

∑( k=0 bis n+1) qk + (n+1)k = 1-qn+2 / 1-q

 1-qn+1 / 1-q + (n+1)k = 1-qn+2 / 1-q

Leider komme ich nicht weiter. Ich wäre über jede Hilfe dankbar.

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1 Antwort

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Der Induktionsschluss (IS) beginnt mit der Induktionsvoraussetzung (IV). Diese ist die Formulierung der Behauptung nach Ersetzen von n durch n-1 und ist hier: Für eine natürliche Zahl n gilt ∑(k=0 bis n-1)qk= (1-qn)/(1-q). Für den IS wird auf beiden Seiten der nächste Summand (das ist (qn) addiert:

∑(k=0 bis n-1)qk+ qn= (1-qn)/(1-q)+qn . Formt man nun beide Seiten um (auf der rechten Seite: Hauptnenner, Zähler addieren und zusammenfassen), so entsteht die Induktiosbehauptung (IB): ∑( k=0 bis n) qk = 1-qn+1 / 1-q.

Avatar von 124 k 🚀

Warum arbeitest du mit n-1 man arbeitet doch mit n+1??

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