Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit. Bsp. f(x):= x sin(1/x ) für x ≠0 und f(0):=0.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei folgender aufgabe:

Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit d. h. untersuchen Sie in welchen Punkten die Funktionen stetig und in welche  Punkten sie nicht stetig sind.

a) f: ] -∞, π/2] --> ℝ definiert durch

f (x) = { e^x  x∈]-∞,0]

             1/2x^2 + x, x∈]0,π/2]

b) f: ℝ --> ℝ definiert durch

f (x) = { x sin(1/x )  für x ≠0

             0     für x=0

Dankeschön:)

Comments

Du hast keine Klammern verwendet. Kannst du noch bestätigen, dass bei bei a) nur die 2 unter dem Bruchstrich steht?

a) f: ] -∞, π/2] --> ℝ definiert durch

f(x): = { e^x  ,      x∈]-∞,0]

             1/2 x² + x,       x∈]0,π/2]

Setze 0 ein

a) f: ] -∞, π/2] --> ℝ definiert durch

f (0) = { e^0 = 1

Aber lim_(x->0)    ( 1/2 x² + x) = 1/2 * 0^2 + 0 = 0 ≠ 1 = f(0) .

Daher ist f an der Stelle x=0 nicht stetig.

ansonsten ist f überall im Definitionsbereich stetig.

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Ich habe eine Frage zu a):
Kann man sagen, dass die Funktion nur in diesem Intervall stetig ist:?

]-∞, π/2 ] \ {0}

oder

]-∞, π/2 [ \ {0}

Ich weiß nicht in welche Richtung die Klammer hier zeigen muss?

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Gute Frage! Was sagt die Definition der Stetigkeit denn dazu? Muss die Epsilon-Umgebung nicht innerhalb des Definitionsbereichs liegen? In dem Sinn ist dann π/2 noch ein Teil des Bereichs, in dem die Funktion stetig ist. 

Achtung: Ein Intervall mit Loch ist kein Intervall mehr, schreibe besser Bereich. Und: Nennt man ]-∞, π/2 ] überhaupt Intervall? Es ist eine Menge in Intervalldarstellung. Aber es hat unendliche Ausdehung. 

Kann man sagen, dass die Funktion nur in diesem Bereich stetig ist:?

]-∞, π/2 ] \ {0} 

oder

]-∞, π/2 [ \ {0} 

Answer 1

Hallo Samira,

a) hat Lu ja schon in ihrem Kommentar beantwortet.

b)

 f: ℝ --> ℝ definiert durch

f (x) = { x sin(1/x )  für x ≠0

             0     für x=0

Als Kombination stetiger Funktionen ist f in ℝ\{0}  stetig.

Für x₀ = 0 gilt:

f ist stetig in x₀ aus D_f  , wenn   lim_x→x0   f(x)  =  f(x₀)   gilt:

lim_x→0  f(x)  =  lim_x→0  ( x * sin(1/x) )  =_#  0  =  f(0)      →   f ist stetig in ℝ

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#

Wegen   -1 ≤  sin(1/x)  ≤ 1  und  x→0 ,  strebt das Produkt  gegen 0

Gruß Wolfgang 

Comments

Du hast das Datum der Frage gesehen?

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Die Frage im Kommentar war neu und  09. August war gestern. Sah halt sehr zeitnah aus :-)

Außerdem kann die Vervollständigung einer Antwort für spätere Generationen wohl zu keinem Zeitpunkt schaden.

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Answer 2

$$\lim_{x \to 0} e^x=1$$

und

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^2+x=0$$


Also... ?


$$\left| x \sin{\frac{1}{x}}\right| \leq |x|$$

Daraus folgt dass 

$$\lim_{x \to 0} x \sin{\frac{1}{x}}=... ?$$

Comments

Ich habe eine Frage zu a):
Kann man sagen, dass die Funktion nur in diesem Intervall stetig ist:?

]-∞, π/2 ] \ {0}

oder

]-∞, π/2 [ \ {0}

Ich weiß nicht in welche Richtung die Klammer hier zeigen muss?

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> Ich weiß nicht in welche Richtung die Klammer hier zeigen muss? 

Bei ] a , b [ gehören die Grenzen a und b nicht zum offenen Intervall,

bei  [a , b] gehören sie zum abgeschlossenen Intervall dazu.

> Kann man sagen, dass die Funktion nur in diesem Intervall stetig ist:?

]-∞, π/2 ] \ {0}  ist kein Intervall, weil innerhalb der Menge die Zahl 0 fehlt.

Aber ja, genau in dieser Menge ist die Funktion stetig.