die Gleichung lässt sich nicht analytisch lösen. Du kannst nicht nach x umstellen.
Allerdings kannst du folgende Überlegungen anstellen:
f(x)=2x^2-12x+17
g(x)=2*sin(π*x/2)+1
2*sin(x*π/2)+1<=3
2*x^2-12x+17>=3
2*x^2-12x+14>=0
x^2-6x+7>=0
(x-3)^2-2>=0
(x-3)^2>=2
|x-3|>=√2
x>=3+√2 oder x<=3-√2
potentielle Lösungen können also nur x∈[3-√2,3+√2]
(Das Minimum von 2x^2-12x+17 ist -1>=-1)
Die Lösungen kannst du nur numerisch bestimmen. Da der Sinus für x=2,3,4 jeweils ganzzahlige Werte annimmt, bieten sich diese Werte zum probieren auch an, das hast du ja schon selbst herausgefunden.
Das sind auch die Lösungen. Es gilt noch zu zeigen, dass es keine weiteren Lösungen mehr gibt.
f'(x)=4x-12
g'(x)=π*cos(x*π/2)
f'(3)=0=g'(3)
f'(4)=4>g'(4)=π
Innerhalb von x∈[3-√2,3+√2] ist g'(x) monoton wachsend, genauso wie f'(x).
Wegen dem Zwischenwertsatz gibt es ein x∈[3,4], sodass f'(x)=g'(x).
Da aber beide Ableitungen in diesem Intervall monoton wachsend sind, kann es neben x=3 nur noch eine weitere Lösung geben für x∈[3,4] (g'(x) ist nach oben beschränkt). Das selbe Verfahren kann auf x∈[2,3] angewendet werden. Es kann also nur 3 Lösungen geben, die du bereits gefunden hast.
