Darstellung des arcsin(x) durch ein Polynom, trigonometrischer Ansatz

Question

Aufgabe:

…zum wiederholten Male, Darstellung des arcsinx durch ein allgemeingültiges Polynom unter Zuhilfenahme eines trigonometrischen Ansatzes

Problem/Ansatz:

1=u'a-a'u aus (arcsinx)'=1/(1-x^2)^0.5, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25, Quotientenregel Differentialrechnung

(arcsinx)'=(u'a-a'u)/a^2)

1=(sinx)^2+(cosx)^2, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25=cosx und u=sinx, gesucht ist das Polynom für u

1=u'a-a'u, daraus folgt: 1+2ua'=(u*a)'=u'a+a'u, Produktregel Differentiation

1+2ua'=1-2*(sinx)^2=cos(2x)=(sinx*cosx)'=2*(cosx)^2-1

            1-2*u^2=2a^2-1 daraus folgt: u=(1-a^2)^0.5=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5

u/a=arcsinx, folgender Ansatz wurde von mir gefunden, den ich nicht näher herleiten kann:

f₁=k₁(1-(k₂*1-k₃*x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a=arcsinx, mit k₁=f(k₂ und k₃), daraus folgt:

f₂=g₁*arcsin(x*g₂)=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a

es soll gelten: f₁=f₂=g₁*arcsin(x*g₂) und f'₂=g₁*g₂/(1-(g₂*x)^2)^0.5=x/(2*(1-x^2)^1.25*(1-(1-x^2)^0.5)^0.5)=f'₁

Ermittlung der Konstanten g_i bei x=0.5, willkürlich gewählt:

g₁=0.5228504671290 und g₂=1,36658

~plot~ [[ 0 | 1 | 0 | 1 ]];0.5228504671290^(-1)(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25;0.5228504671290*asin(1.36658*x); asin(x);asin(x*1.36658); ~plot~

~plot~ [[ 0 | 1 | 0 | ]];0.5228504671290^(-1)(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25;0.5228504671290*asin(1.36658*x); asin(x);asin(x*1.36658); ~plot~

habe jetzt folgendes lächerliche Problem, dass ich den arcsin(g₂x) nicht umwandeln kann, so dass ich nur den arcsinx erhalte, kann mir dabei jemand behilflich sein und sind meine Berechnungen korrekt, grafisch ist ja alles in Ordnung

Dankeschön für die Hilfe! Bert Wichmann!           

Comments

Genauer:

Titel: Ersatz der Arcsin(x)-Funktion durch ein Polynom

Stichworte: arcsin,polynom,funktion

Möchte, da ich selber nur auf unrichtige Ergebnisse gekommen bin, hier im Forum um eine Auskunft bitten.

Möchte die arcsin(x) Funktion durch ein Polynom darstellen, falls dies vom Ansatz her überhaupt möglich ist.....!

arcsin(x)=u/v daraus folgt, arcsin(x)'=(u/v)'=1/(1-x^2)^0.5=(u'v-v'u)/v^2, soweit so gut.

habe für die letzte Gleichung folgendes ermittelt:

die homogene Differentialgleichung liefert dieses Ergebnis:

u_h=(x^2-1)^0.25*C, v=(1-x^2)^0.25, 1/v=u'+0.5x*u/v^4 (dies ist die AGL für arcsin(x)', umgeformt und aufgelöst)

habe nun y_p ermitteln wollen und bin daran grandios gescheitert:

y_p=C*u_h, dann die erste Ableitung von dieser Gleichung bilden in die obige Gleichung einsetzen und nach C' auflösen.

Wie gesagt, ich erhalte keine ordentlichen Ergebnisse und habe die Befürchtung, dass schon der Ansatz falsch ist!!!

Kann mir jemand helfen in der Form, dass eine Bestätigung gegeben wird dafür, dass der Ansatz nicht schon zum Scheitern verurteilt ist! Dankeschön für die Antworten! Bert Wichmann

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Wie lautet die genaue Aufgabe ?

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Habe ich mir selber ausgedacht. Keine Aufgabe durch ein Lehrinstitut.

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Bogenlaenge.html

Habe schon versucht die Sin- bzw. Cosinusfunktion durch ein Polynom zu ersetzen, das hauptsächliche Ziel meiner "Rechnerei", bisher relativ erfolglos.

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Meinst du vielleicht Taylor-Polynome?

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Ich möchte keine Näherung sondern einen genauen Ersatz.

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letztendlich möchte ich dies mit der Sinus- bzw. Cosinusfunktion durchführen, bzw. mit dem gefundenen Ersatzpolynom:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html

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Wie soll das denn funktionieren?

arcsin(x) ist für x>1 und x<-1 nicht definierbar. Du könntest höchsten eine Polynominterpolation á la Newton durchführen und das Polynom in einem Intervall betrachten

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arcsin(x) ist doch die Umkehrfunktion des sin(x), oder?

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Genau! Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass man das machen kann. Naja mal sehen, was die anderen Benutzer sagen.

Answer 1

habe die Lösung für die inhomogene Differentialgleichung in der Form ermittelt, als das ich eine Bestätigung dafür erhalten habe, daß

y=(x^2-1)^0.25*(c-Integral1/v(x)²dx)=u ; arcsin(x)=(u/v)

arcsin(x)=Integral von 1/v(x)²dx 

ist! Die homogene Gleichung wurde durch die "Trennung der Variablen" und die inhomogene Gleichung durch "Variation der Konstanten" gelöst, also Schulmathematik, die kein Polynom für die arcsin-Funktion lieferte. Schade, bin damit mit meinem Latein am Ende.

arcsin(1/g₂*sin(1/g₁*(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25))=arcsinx

weiter kann ich es nicht vereinfachen.

Comments

Ich habe das Problem endlich gelöst:

arcsinx=0,5228504671290^(-1)(1-(1-(x*1/1,36658)^(2))^(0,5))^(0,5)/(1-(x*1/1,36658)^(2))^(0,25)

~plot~ [[0|1|0|1]];asin(x); 0,5228504671290^(-1)(1-(1-(x*1/1,36658)^(2))^(0,5))^(0,5)/(1-(x*1/1,36658)^(2))^(0,25); ~plot~