Es ist
\(\sin \left(\arg (a+b\mathrm{i})\right) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
wie man sich leicht am Einheitskreis klar machen kann. Daraus kann man jedoch nicht die Schlussfolgerung
(1) \(\arg (a+b\mathrm{i}) = \arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
ziehen. Grund ist
- \(\arcsin q\) ist ein Wert im Intervall \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\),
- \(\arg z\) ist ein Wert im Intervall \(\left(-\pi,\pi\right]\).
Deshalb gilt Gleichung (1) nur für \(\arg (a+b\mathrm{i}) \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
Für \(\arg (a+b\mathrm{i}) \in \left(-\pi,\pi\right]\setminus \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) musst du dir etwas Anderes einfallen lassen. Du brauchst also eine Fallunterscheidung:
\(\arg(a+b\mathrm{i}) = \begin{cases}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}&\text{falls }\arg(a+b\mathrm{i})\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\\dots&\text{falls }\arg(a+b\mathrm{i})\notin \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\end{cases}\).
Finde zunächst ein mal heraus, was du für \(\dots\) einsetzen musst.
Die Bedingungen \(\arg(a+b\mathrm{i})\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) und \(\arg(a+b\mathrm{i})\notin \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) sind auch nicht glücklich gewählt, irgendwie beißt sich die Katze da in den Schwanz. Finde Bedingungen, in denen nicht auf die Funktion \(\arg\) zurückgeriffen wird.
