Konvergenz einer Arcsin- Funktion

Question

ich habe folgendes Problem:

Ich hab die Funktionsfolge f_n(x)= n*x*arcsin(e^-n*x) für n∈ℕ gegeben. Nun soll ich überprüfen, ob die Funktionsfolge auf [1,0] punktweise oder sogar gleichmäßig konvergiert. Zudem soll ich dann \( \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_{0}^{1}f_n(x)\) bestimmen.

Ich vermute, dass die Funktionsfolge punktweise gegen 0 konvergiert, denn graphisch kann man sich das ja so vorstellen, dass der "Berg" immer dichter an die y-Achse gestaucht wird und deshalb für n→∞ die Nullfunktion angenähert wird. Bezüglich der glm. Konvergenz vermute ich stark, dass die Funktionsfolge nicht glm. konvergiert, da ihr Supremum nicht Null sondern eben genau diese "Spitze vom Berg" wäre...das könnte man mit Hilfe der Differentialrechnung auch sicher zeigen...

Dennoch wünschte ich, dass sie glm. konvergent ist, denn dann könnte ich Grenzwert und Integral vertauschen und so das geforderte Integral womöglich erheblich einfacher bestimmen...

Leider fehlt mir die Idee wie ich zeigen kann, dass f_n(x)  punktweise gegen Null konvergiert...Denn mir ist zwar klar, dass    e^-n*x für n→∞ gegen Null konvergiert , n*x aber gegen unendlich und grundsätzlich wächst der Exponent ja immer schneller als etwas lineares aber ich weiß eben nicht, ob mir der arcsin das nicht vielleicht kaputt macht oder wie ich an dieser Stelle argumentieren könnte...Hmm

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir da weiter helfen könntet.

mit freundlichen Grüßen Nelly.

Answer 1

Hallo,

zur punktweisen Konvergenz: Mit Hilfe des Mittelwertsatzes kannst Du zeigen, dass

$$|\arcsin(s)|=|arcsin(s)-arcsin(0)| \leq 2 |s|$$

für ein hinreichend kleines Intervall um den Nullpunkt. Damit kannst Du dann abschätzen

$$f_n(x) \leq 2nx \exp(-nx)$$

und dann so argumentieren wie Du gesagt hast.

Die Konvergenz ist nicht gleichmäßig, wegen \(f_n(\frac{1}{n})= const\) - wie Du gesagt hast.

Zur Berechnung des Grenzwerts über das Integral führe die Substitution \(s=nx\) durch.

Gruß