Vom Duplikat:
Titel: Beweisen Sie, dass die Richtungsableitung existiert: f(x,y):=(xy^2)/(x^2 + y^4), falls (x,y)≠0, 0 sonst.
Stichworte: richtungsableitung,funktion,zeigen
Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Beweisen Sie, dass die Richtungsableitung \( \partial_{u} f(0,0) \) für alle \( u \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( \|u\|_{2}=1 \) existiert, aber die Funktion \( f \) nicht stetig in \( (0,0) \) ist.