Stetigkeit in R^2 (mehrere Variablen). f(x,y):=(xy^2)/(x^2 + y^4), falls (x,y)≠0, 0 sonst.

Question

Ich soll zeigen, dass diese Funktion in (0,0) nicht stetig ist:

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} \text { falls }(x, y) \neq 0} \\ {0 \text { sonst }}\end{array}\right. \)

Ansatz/Problem:

Da ich kein Gegenbeispiel gefunden habe, gehe ich davon aus, dass die Funktion in (0,0) stetig ist.

Leider finde ich aber mit dem Epsilon Delta Kriterium keine gescheite Abschätzung.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass die Richtungsableitung existiert: f(x,y):=(xy^2)/(x^2 + y^4), falls (x,y)≠0, 0 sonst.

Stichworte: richtungsableitung,funktion,zeigen

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

Beweisen Sie, dass die Richtungsableitung \( \partial_{u} f(0,0) \) für alle \( u \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( \|u\|_{2}=1 \) existiert, aber die Funktion \( f \) nicht stetig in \( (0,0) \) ist.

Answer 1

betrachte die Folgen:

$$ x_n = \frac{1}{n^2}, \quad y_n = \frac{1}{n} $$

und bestimme

$$ \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n, y_n) $$

Dann sollte dir was auffallen.

Gruß

Comments

bin ich in der richtigen Richtung oder eine ?

lim xn = 1/n^2 = 0

lim f(1/n^2 , 1/n ) = 1/2 und die grenzen übereinstimmen nicht und daraus folgt dass die Funktion ist nicht stetig

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Ja das ist schon halbwegs die richtige Richtung. Du musst nur noch sauber formulieren warum ein Widerspruch zur Stetigkeit der Funktion vorliegt.