Wie kommt man auf die Gleichung? sin((1+a+b*i)^2)=sin((a+1)^2-b^2)*cosh(2*(a+1)*b)+i*cos((a+1)^2-b^2)*sinh(2*(a+1)*b)

Question

Wie kommt man auf die Umformung auf der rechten Seite der Gleichung ?

Hier der Link zu Wolfram Alpha -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin((1%2Ba%2Bb*i)%5E2)%3Dsin((a%2B1)%5E2-b%5E2)*cosh(2*(a%2B1)*b)%2Bi*cos((a%2B1)%5E2-b%5E2)*sinh(2*(a%2B1)*b)

a und b sollen für Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen stehen und i ist die imaginäre Einheit.

Wie kommt man auf die Umformung auf der rechten Seite der Gleichung ?

sin((1+a+b*i)^2)=sin((a+1)^2-b^2)*cosh(2*(a+1)*b)+i*cos((a+1)^2-b^2)*sinh(2*(a+1)*b)

Answer 1

Hi,

siehe in der Formelsammlung für das entsprechende Additionstheorem :).

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus#Komplexe_Argumente

Mit (1+a+bi)^2 = (a+1)^2 - b^2 + (2ab+2b)i = a^2+a+1-b^2 + (2ab+2b)

Also x = a^2-b^2+2a+1  und y = 2ab+2b

Grüße

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Vielen Dank für deine Antwort ! Ich werde da nachschauen.