Kann man ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten nur mit Gleichsetzen lösen?

Question

Ich wiederhole gerade lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten und da habe ich mich gefragt, ob man so ein Gleichungssystem auch NUR mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen kann, also komplett OHNE Additions- und Einsetzungsverfahren. Oder kann man das Gleichsetzungsverfahren nur bei Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten anwenden? Wenn ja, wieso?

Als Beispielaufgabe habe ich

I 3x-y+2z=3

II 2x+3y+3z=-3

III x+2y+z=4

Danke für Antworten.

Mfg

Nora

Answer 1

Hallo Nora,

Du kannst auch hier das Gleichsetzungsverfahren verwenden, würde ich aber nie machen.

Das funktioniert dann so:

du nimmst

1. die erste,zweite und dritte Gleichung und löst sie jeweils nach x auf,  
2. dann  die erste und zweite Gleichung gleichsetzen und die nach y auflösen => Gleichung 4
3. dann  die erste und dritte Gleichung gleichsetzen und die nach y auflösen  = Gleichung 5
4. Dann Gleichung 4 und Gleichung 5 gleichsetzen => Ergebnis für z

Gewöhn Dir lieber das Verfahren von Gauss an. Das klappt immer auch bei vielen Variablen und ist - wenn man es mal begriffen hat - viel einfacher.

Gruß

Woodoo

Comments

Könntest du das mit dem Gauß-Verfahren mal machen? Würde ich mich auch interessieren :D Oder soll ich lieber eine neue Frage stellen=

Answer 2

Man kann natürlich dieses Verfahren auch bei 3 Gleichungen anwenden, aber es ist meist viel umständlicher.
Zudem musst du es zweimal anwenden, was die sache noch komplizierter und unübersichtlicher machen dürfte.

Answer 3

     3  x  -       y  +  2  z  =  3     (  1a  )

     2  x  +  3  y  +  3  z  =  ( - 3 )     (  1b  )

         x  +  2   y  +     z   =  4     (  1c  )

    Also ich sehe schon ein Knoff-Hoff; mach mal das Additionsverfahren ( 1a ) + ( 1b ) ; ferner verringern wir die Anzahl Unbekannte, indem ich definiere

        u  :=  x  +  z     (  2  )

          Besagte Addition führt dann auf das LGS

         5  u  +  2  y  =  0     (  3b  )

             u  +  2  y  =  4      (  3c  )

      Das ist jetzt natürlich Geschmacksache; mir erschiene das Gleichsetzungsverfahren unbequem. Aber setzen wir doch ( 3bc ) gleich:

     -  5  u  =  4  -  u  ===>  u  =  (  -  1  )  ;  y  =  5/2       (  4  )

    " Probe in the head goes up; could is plain could " , sagte der Runaway ...

     In ( 1a ) MUSST du aber substituieren; hier hängt alles entscheiden daran, dass du erkennst, wo sich u versteckt in ( 1a )

        x  +  2  u  -  y  =  3     (  5a  )

       x  -  2  -  5/2  =  3  ===>  x  =  15/2     (  5b  )

      Und aus ( 2 )  z = ( - 17/2 )