Hallo Samira,
Berechnen sie sie folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regeln von der l'Hospital.
a.
Lim(x--> 0) sin (x) / x
Sinus (x) beim Lim(x-->0) konvergiert gg 0
Muss man das x im Nenner als x sehen oder als 1/x es konvergiert doch auch gg 0 also man setzt doch 0 ein als x
Jetzt die Regel anwenden:
Lim (x-->0) - cos (x) / 1 Die Ableitung von sin(x) ist cos(x)
-cos (x) konvergiert gg -1 und 1 ist eine konstante und konvergiert auch gg 0 daher ist der Grenzwert -1. 1
B. Lim (x-->0) sin (x) / x2
Wohin konvergiert x2 auch 0? 02? 02 = 0 , also 0
Regel anwenden:
Lim (x-->0) - cos (x) /2x = " -1/ 0 " " 1/0 " aber das geht doch nicht man darf ja nicht durch 0 dividieren.
Deshalb schreibt man die Anführungszeichen, der illegale Term dient der Vorstellung
Da wegen -1 ≤ cos(x) ≤ 1 der Zähler beschränkt ist und der Nenner gegen 0 strebt, strebt der Bruch gegen ± ∞ , je nachdem von welcher Seite sich x der 0 nähert.
C. Lim (x-->∞) x / ( ex - e-x )
X konvergiert gg ∞ und ex ebenfalls, e^-x konvergiert gg 0
Dann:
Lim (x-->∞) 1/ (ex + e^-x) --> "1/ (∞ + 0)" , also gegen 0
Gruß Wolfgang