Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und eine Partikulärlösung derselbigen.

Question

Die Differentialgleichung lautet wie folgt:

u"(x)+u'(x)-2u(x)=cos(x)

1.Frage: Ich habe die Lösung:

$$y={ C }_{1  }\cdot {  e}^{x  }+{ C }_{2  }\cdot {  e}^{2x  }$$

Stimmt das Soweit oder fehlt mir noch was?

2.Frage: Wie bestimme ich die Partikulärlösung der Differentialgleichung?

Answer 1

u"(x)+u'(x)-2u(x)=cos(x)

Meine Berechnung:

Answer 2

deine Lösung der homogenen Gleichung ist fast richtig, die zweite Nullstelle ist -2 anstatt 2.

Für die partikuläre Lösung kannst du einen Ansatz machen und die Konstanten bestimmen:

Da die Inhomogenität g(x)=cos(x) ist, wäre der Ansatz

u(x)=A*sin(x)+B*cos(x)

Setze dies in die Differentialgleichung ein,

es ergibt sich

A*cos(x)-B*sin(x)-3*(A*sin(x)+B*cos(x))=cos(x)

Vergleiche die Koeffizienten vor sin und COS auf beiden Seiten miteinander.

Es ergibt sich das Gleichungssystem 

-B-3A=0

A-3B=0

Lösung:

A=1/10

B=-3/10

--> u(x)=sin(x)/10-3*cos(x)/10 

Comments

Danke für deine Lösung, aber eine Frage hab ich noch: wie genau kommst du auf deinen Ansatz?

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Die Ansätze beruhen größtenteils auf Erfahrung.

Eine Liste, welchen Ansatz du bei welcher Inhomogenität verwenden kannst, findest du hier:

https://www.google.de/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf&ved=0ahUKEwi0l6nBzMvOAhXFDxoKHfD0DjkQFggbMAA&usg=AFQjCNH0cXpSnl3YG_pkqOJt34IgW9Z1-g