Aloha :)
Die Aufgabe stellt uns vor folgende Situation:$$y''(x)+(\,y'(x)\,)^2=0\quad;\quad y(-1)=y(1)=1$$und liefert uns auch gleich eine Anleitung zum Lösen des Problems. Wir setzen \(u(x)\coloneqq y'(x)\) und erhalten eine Differentialgleichung 1-ter Ordnung. die wir schnell lösen können:$$u'(x)+u^2(x)=0\implies\frac{u'(x)}{u^2(x)}+1=0\implies-\frac{\frac{du}{dx}}{u^2(x)}=1\implies$$$$-\frac{du}{u^2(x)}=dx\implies\frac{1}{u(x)}=x+c_1\implies u(x)=\frac{1}{x+c_1}$$Da wir nicht \(u(x)\), sondern \(y(x)\) suchen, müssen wir \(u(x)\) nochmal integrieren:$$u(x)=y'(x)\implies y(x)=\int\frac{1}{x+c_1}dx=\ln\left|x+c_1\right|+c_2$$
Die beiden Integrationskonstanten \(c_1\) und \(c_2\) holen wir uns aus den Randbedingungen:$$1=y(1)=\ln|1+c_1|+c_2\quad;\quad1=y(-1)=\ln|-1+c_1|+c_2$$Man erkennt \(c_1=0\) und \(c_2=1\) ohne große Rechnung, sodass die Gesamtlösung lautet:$$y(x)=\ln|x|+1$$
