Grenzwertbestimmung, Limes. lim_( x--> 1) ln(x) / ( x - 1) .

Question

Hallo ich habe eine frage und zwar wenn man die grenzwerte bestimmt mithilfe de regel von de l'hospital

wenn man schreibt lim x--> 1 ln(x) / ( x - 1)
 soll es heißen man setzt für x = 1 ein?

wenn ja dann verstehe ich ja dass In(x) also gegen 0 konvergiert, aber x - 1 konvergiert gegen ∞ aber warum? 1-1 wäre ja 0

verstehe ich da was falsch?

Answer 1

Hi,

Zur Anwendung musst Du doch Zähler und Nenner getrennt betrachten :). In beiden Fällen haben wir ein Streben gegen 0, weswegen wir direkt l'Hospital anwenden können.

$$\lim \frac{\ln(x)}{x-1} = l'H = \lim \frac{\frac1x}{1} = \lim \frac1x = 1$$

Im letzten Schritt kannst Du ja problemlos x=1 einsetzen :).

Grüße 

Comments

Ja das weiss ich ja, aber ich meine den esrten Term, da soll man sich ja auch anschauen wohin gegen Nenner und Zähler konvergieren. Man darf aj nicht sofort die Regel von de l'Hospital anwenden sondern man muss sich ja anschauen wohin gegen sie konvergieren. man darf ja nicht immer dier egel anwenden.

lim x--> 1 ln(x) / ( x - 1)

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So ist. Man muss sich die Fälle immer genau anschauen. ln (1) = 0 sollte aber direkt als solches zusehen sein, und damit der Fall "0/0".

Einverstanden?  :)

Answer 2

  Das war einfach ein geistiger Kurzschluss. Jetzt tritt doch mal einen Schritt zurück. Was da steht, ist doch nix weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) von Logaritmus, genommen zwischen x0 = 1 so wie der beliebigen Stelle x . Und zwar schlicht und ergreifend, weil ln ( 1 ) = 0 . Schreib dir die Definition des DQ nochmal in aller Ruhe hin.

   Und der Grenzwert dieses DQ ist doch nichts weiter als die Ableitung f ' ( 1 ) von Logaritmus . So hast du es gelernt. Und jetzt überlege, was die Ableitung von Logaritmus sein könnte.

Answer 3

nutze Taylorentwicklung von ln(x) bei x=1:

ln(x)≈x-1

---> lim x-->1 ln(x)/(x-1)=lim x--> 1 (x-1)/(x-1)=1