Zwei Gleichungen nach der Grösse der Lösungen nach sortieren

Question

Es sind zwei Gleichungen gegeben. Überlege, welche Gleichung die größere Lösung hat, und setze passend das Zeichen

<&> ein. Forme ggf. die Gleichungen um. Versuche und probiere zunächst ohne TR!

a) x^2 = 0,0016______x^4 = 0,0016

b) x^4 = 0,7 ________ x^11 = 0,7

Comments

Hast du bei b) absichtlich einmal 0.7 und daneben 0.07 ?

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Nein da habe ich mich verschrieben , beides sollte 0.7 sein..

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EDIT: Habe nun beides zu 0.7 gemacht.

Answer 1

Ich nehme mal an, ihr sollt keine negativen Lösungen der Gleichungen betrachten und die Grösse der Resultate vergleichen.

a) x² = 0,0016__   =   ____b⁴ = 0,0016.              HIer gilt noch Gleich. Nun zieht man unterschiedliche Wurzeln.

x = √(16/1000) --------- b= ⁴√(16 / 10000)

x = 4/100       <       b = 2/10 = 20/100          fertig

Alternative für a) betrachte nur die linke Seite.

Da 0 < x^2 < 1 , wird x^2 beim Quadrieren kleiner.

(x^2)^2 < x^2

x^4 < x^2

Da auf der rechten Seite des "Vergleichs" b^4 = 0.0016 steht, muss b^2 > x^2 gewesen sein.

Also b > x oder um die angegebene Reihenfolge zu berücksichtigen: x < b.

Diese Alternative Betrachtung führt bei b) zu.

 x⁴ = 0,7 ________ c¹¹ = 0,7 

Beide Lösungen müssen wieder zwischen 0 und 1 liegen. Also auch x und c selbst.

Daher x^4 * x^4 < x^4.

links: x^11 = x^4 * x^4 * x^3  < x^4 * x^3 < x^4 .Im Vergleich dazu ist c^11 nun zu gross, daher ist c> x.Also auch hier wieder x < c.

Comments

Und wie macht man es bei der zweiten aufgabe? Da kann man ja nicht einfach so im kopf die wurzel rechnen oder?

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Ich habe oben zu a) noch ziemlich viel ergänzt und dann die das b) ähnlich gelöst.

Ist etwas umständlich geworden.

Schau mal in Ruhe, ob du da draus kommst und (mit dem TR), ob es überhaupt stimmt.

Answer 2

Hi,

noch eine andere Herangehensweise als die von Lu.

Nimm Dir die Zahlenwerte und wandle sie in Brüche um:

0,0016 = 16/10000 = 16/10^4

Für den Zähler haben wir ja je den gleichen Wert, der kann also ignoriert werden. Für den Nenner schauen wir uns an, was passiert, wenn wir die Wurzel ziehen:

x^2:

a/10^{4/2} = a/10^2

x^4:

a/10^{4/4} = a/10

Da 10^2 = 10^{4/2} > 10^{4/4} = 10 ist haben wir (Es ist ja: Je größer Nenner desto kleiner Bruch):

x^2 = 0,0016 < x^4 = 0,0016

Selbiges für b)

Mit 0,7 = 7/10 = 7/10^1

x^4:

a/10^{1/4}

x^{11}:

a/10^{1/11}

Es ist wiederum einfach zu sehen, dass 10^{1/4} > 10^{1/11} und damit

x^4 = 0,7 < x^{11} = 0,7

Einverstanden?

Grüße

Comments

Ja so sollte der lösungsweg aussehen aber ich bin überhaupt nicht drauf gekommen! Danke jetzt kann ich auch die weiteren aufgaben lösen

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Freut mich,wenn ich helfen konnte. Viel Spaß weiter :)

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Eine frage habe ich noch wie kommst du auf die 5 als exponent bei zb 16/10^5

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Sry muss 10^{-4} sein (korrigiert)

Kann man so feststellen:

0,0016 = 0,016*10^{-1} = 0,16*10^{-2} = 1,6*10^{-3} = 16*10^{-4} = 16/10^4

Also eine Kommaverschiebung vornehmen :). Sieht man normal recht schnell, das ist schon sehr ausführlich gemacht.

Answer 3

Wenn a>0 dann $$\frac{a}{10}> \frac{a}{100}$$