Funktion √(2x^2-x^4), warum erzeugt die folgende Umformung ein falsches Ergebnis?

Question

Es geht um die Funktion √(2x^2-x^4). Diese sieht geplottet so aus:

Wenn ich nun ein x^2 ausklammere und aus der Wurzel ziehe, müsste ich meines Erachtens eigentlich folgendes erhalten:

±x * √(2-x^2)

Wenn ich das nun plotte erhalte ich

Das ist nicht mehr identisch mit dem Graph der ursprünglichen funktion. Was mache ich falsch?

Answer 1

Hi,

Beachte, dass Du beim Wurzel ziehen den Betrag ziehen musst. Es ist also nicht ±x√(2-x^2), sondern |x|√(2-x^2) :)

(Ja das ist ein Unterschied. Im ersten Fall hast Du zwei Funktionen im gegebenen Intervall...)

(Du kannst Deine Lösung nehmen, wenn Du zwei Intervalle wählst und das passende Vorzeichen verwendest ;))

Besonders anschaulich auch mit einer einfacheren Funktion...g(x) = √(x^2) = |x|

Grüße

Answer 2

Als Wurzel aus einer Zahl ist in den reellen Zahlen nur eine Zahl definiert, die nicht negativ ist. D.h. alles unterhalb der x-Achse fällt weg.

Rechnerisch kannst du das mit einer stückweisen Definition von f hinbekommen.

f(x) = √(2x^2-x^4)   

= √(x^2*(2-x^2))     . Wenn du hier teilweise die Wurzel ziehen möchtest, machst du das stückweise.

f(x) = x*√(2-x^2) für x≥ 0  und

f(x)= -x √(2-x^2) für x<0.

Schreibe die beiden letzten Zeilen mit einer geschweiften Klammer, wie das für stückweise definierte Funktionen üblich ist.