Prüfen Sie, ob es eine Ursprungsgerade gibt, welche f(x) nicht schneidet

Question

Prüfen sie ob es eine Ursprungsgerade gibt, welche f(x)= -0,25x² - 0,5x + 3/4

 nicht schneidet. 

Answer 1

"eine Ursprungsgerade " ist eine Gerade, die durch den Koordinatenurspung O(0|0) geht.

Der Graph von f(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit y-Achsenabschitt + 4/3. 

Das bedeutet, dass O "unterhalb" der Kurve liegt. 

Jede Gerade, die einen Punkt unterhalb der Kurve enthält, muss den Graphen der Parabel schneiden. Daher gibt es keine Ursprungsgerade, die die Kurve von f nicht schneidet. 

Zur Illustration der Graph der Funktion: 

~plot~ -0,25x^2 - 0,5x + 3/4 ~plot~

Da der Einbettcode bei mir keine Graphen mehr anzeigt, habe ich einen Screenshot ergänzt. 

Comments

Die Lösung wird bei uns in den Aufgaben so beschrieben:

f(x)= -0,25x² - 0,5x + 3/4

Schnittpunkt: f(x) = m * x => 0=0,25x² + x(m + 0,5) - 3/4, schneidet immer da Diskriminate

D=(m + 0,5)² - 4* 0,25( -3/4) > 0

Wie ist diese Rechnung zu verstehen? bzw. warum wird (m + 0,5) beim zweiten X eingesetzt.

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Eure rechnerische Lösung ist viel komplizierter als meine geometrische. Ausserdem deckt sie den Fall der Ursprungsgeraden x = 0 nicht ab.

 Nun vielleicht doch noch eine Erläuterung zu eurer "Lösung".

f(x)= -0,25x² - 0,5x + 3/4 

g(x) = mx  | Gleichung für "normale Ursprungsgeraden" (beliebige reelle Steigung m. Fall y-Achse mit Steigung unendlich muss aber noch separat angeschaut werden) 

Schnittpunkt: Funktionsgleichungen gleichsetzen f(x) = m * x 

-0,25x² -0.5 x + 3/4 = m*x      |  + linke Seite

0=0,25x² + mx + 0,5x - 3/4   | x ausklammern

=> 0=0,25x² + x(m + 0,5) - 3/4, schneidet immer da Diskriminate

D=(m + 0,5)² - 4* 0,25( -3/4) > 0

" Wie ist diese Rechnung zu verstehen? bzw. warum wird (m + 0,5) beim zweiten x eingesetzt. " Da wurde umgeformt (nicht eingesetzt). "

Was die Diskriminante ist und wie man die berechnet, weisst du ? Ansonsten: Im Buch / Wikipedia nachschauen. 

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Wieder sehr verständlich und nachvollziehbar erklärt, danke. Ja das mit der Diskriminante verstehe ich soweit, also dass diese nicht kleiner 0 werden kann und somit immer mindestens ein Schnittpunkt da ist.

Answer 2

Nein gibt es nicht. Die parabel ist nach unten geöffnet (Faktor vor dem x^2 ist negativ) und der Achsenabschnitt ist positiv (+3/4). Also gibt es keine Möglichkeit,  dass eine gerade durch den Ursprung geht und die parabel nicht schneidet.