Das Phänomen der Konvergenz?

Question

ich bin bald mit allen Themen der Leitidee Zahl fertig. Von den letzten 2 Punkten habe ich jedoch noch nie was gehört.

demonstrieren mit Rechnerhilfe das „Phänomen der Konvergenz“,

beschreiben  π  unter Verwendung eines Rechners als Ergebnis eines konvergenten Prozesse

Answer 1

Es gibt Summen von unendlich vielen Werten, die aber trotzdem als Summe einen endlichen Wert ergeben.

1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

Man spricht dabei das eine Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert.

Zur Entwicklung von Pi siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

oder auch https://de.wikipedia.org/wiki/Wallissches_Produkt

Answer 2

Um das Phänomen der Konvergenz auf einem Taschenrechner zu demonstrieren, eignen sich Folgen besonders gut, die durch Rekursionsformeln gegeben sind. Beipiel: a_n+1 = (a_n+30/a_n)/2. Die so erzeugte Folge konvergiert gegen √30. In den Taschenrechner gibt nan ein Startglied (z.B. a₁ = 5)  ein und drückt "Enter". Dann gibt man (ANS+30/ANS)/2 ein in drückt so lange "Enter", bis im Display nichts Neues mehr angezeigt wird.

Answer 3

Folgende Schritte lassen sich zum Beispiel mit dem Programm GeoGebra ausführen.

1. Zeichne den Punkt A(0|0) ein
2. Zeichne den Punkt B(1|0) ein
3. Zeichne einen Kreis c mit Mittelpunkt A, der durch B verläuf.
4. Zeichne die Gerade f durch A und B ein.
5. Zeichne den zweiten Schnittpunkt C von f und c ein. Fasse CAB als gestreckten Winkel auf.
   
6. Konstruiere die Winkelhalbierende
7. Zeichne den Schnittpunkt von Kreis und Winkelhalbierenden, der von B aus gesehen im Uhrzeigersinn liegt.
8. Zeichne die Strecke von B zu dem Schnittpunkt ein. Die Strecke kann zu einem regelmäßigen Vieleck ergänzt werden, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Der Umfang des Vielecks ist eine Näherung des Umfangs des Kreises.
   
9. Fasse den Winkel BASchnittpunkt als neuen Winkel auf.
10. Gehe zurück zu 6.
    

Je öfter du die Schritte 6 bis 10 wiederholst, umso kleiner wird die Differenz zwischen Umfang des Kreises und Umfang des Vielecks.

Konvergenz heißt: die Differenz zwischen Umfang des Kreises und Umfang des Vielecks kann beliebig klein gemacht werden indem die Schritte 6 bis 10 oft genug wiederholt werden.

Dem Umfang des Kreises gibt man den Wert 2π. Damit kann man sich der Zahl π beliebig genau annähern. Um abzuschätzen wie genau man nach einer bestimmten Zahl von Wiederholungen ist, kann man eine ähnlich Konstruktion ausführen, bei der das Vieleck außerhalb des Kreises liegt. die Differenz der beiden Umfange muss größer als die Differenz zu 2π sein.