Wie ich deinen Fragen entnehme, musst du allererst verstehen, worum es hier eigentlich geht. Hast du dir schon die AGULA Standardlehrbücher Kowalsky und Greub zugelegt? Was weißt du über das Eigenwertproblem einer Matrix A ?
Da die komplexen Zahlen |C ===> algebraisch abgeschlossen sind, besitzt jede Matrix einen ( komplexen ) Eigenwert. Nur bei ===> Hermiteschen Matrizen H sind reelle Eigenwerte garantiert.
Ja mehr noch; du musst verstehen, dass die Eigenvektoren einer Matrix nicht notwendig eine Basis bilden ( So lange du keine Entartung hast, geht es mit Sicherheit gut; musst du dir alles mal erarbeiten. )
Hermitesche Matrizen sind immer ===> diagonalisierbar oder, was das Selbe ist, ===> halbeinfach . Ihre Eigenvektoren bilden eine ===> Ortogonalbasis; du kannst sie mit einer Drehung bzw. ===> unitären Transformation diagonalisieren.
Von Daher gibt es auch das Witzwort, die Hermiteschen Operatoren seie die " reellen Zahlen " unter den Matrizen. Wenn du dir nix Konkretes darunter vorstellen kannst - schau mal in Wiki unter " Trägheitstensor " Was Hermitesche Operatoren insbesondere mit Physik zu tun haben, findest du in dem QM Lehrbuch von Eugen Fi ck.
Also den " Sinn " hinter dieser Lerneinheit kann ich dir nicht " machen " Ich kann nur, wenn du endlich mal anfängst zu lernen, dir deine Fragen beanteorten.
Was ist ein Skalarprodukt? Schreib mal die ganzen Axiome zusammen; dann wirst du auch verstehen, dass jede Hermitesche Matrix H ein Skalarprodukt induziert < x | H | y > Physiker nennen dieses H den " metrischen Fundamentaltensor " ; auch in Einsteins ===> ART spielt er eine große Rolle.
Es gibt übrigens eine sehr tief liegende Wahrheit, den ===> Sylvesterschen Trägheitssatz .Wäre nicht verkehrt, wenn du dich mal damit vertraut machst, was die ===> Signatur einer Metrik ist.
Ich wenn hier Aufgaben löse. Dann ist das in aller Regel geistige Onanie; das heißt ich mache das, was MIR spannend erscheint, worauf ICH Lust habe.
Was ich doch sagen will. Hättest du dich mit dieser Lerneinheit beschäftigt, hättest du diese ganzen Fragen nicht.