Gram'sche Matrix Symmetrie Aufgabe Matrizen

Question

Hallo leutz,

folgende Aufgabenstellung bereitet mit Probleme.

Zuerst die Symmetrie verstehe ich nicht so ganz und was bedeutet positive Definitheit und wie zeige ich es anhand dieser Aufgabe:

Comments

" Für welche spezielle Wahl von G ergibt sich das Standardskalarprodukt? "

G = E  (nxn- Einheitsmatrix )

Ein Skalarprodukt wird definiert, wenn die definierenden Eigenschaften von "Skalarprodukt" nachgewiesen werden können. Suche diese in deinen Unterlagen und schreibe sie mal hin. Dann rechnest du sie einzeln nach. 

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Ich habe bereits in meinen Unterlagen nachgeguckt und finde nichts passendes was der Aufgabe nahe kommen würde, hmmm. Kannst du mir denn zeigen wie das berechnet wird damit ich es in Zukunft selber machen kann ?

Danke trotzdem für deine HIlfe :)

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Da fehlt mir leider im Moment die Zeit dazu. Diese Axiome musst du nachrechnen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Definition_.28Axiomatik.29

Answer 1

  Wie ich deinen Fragen entnehme, musst du allererst verstehen, worum es hier eigentlich geht. Hast du dir schon die AGULA Standardlehrbücher Kowalsky und Greub zugelegt? Was weißt du über das Eigenwertproblem einer Matrix A ?

   Da die komplexen Zahlen |C  ===> algebraisch abgeschlossen sind, besitzt jede Matrix einen ( komplexen ) Eigenwert. Nur bei ===> Hermiteschen Matrizen H sind reelle Eigenwerte garantiert.

   Ja mehr noch; du musst verstehen, dass die Eigenvektoren einer Matrix nicht notwendig eine Basis bilden ( So lange du keine Entartung hast, geht es mit Sicherheit gut; musst du dir alles mal erarbeiten. )

   Hermitesche Matrizen sind immer ===> diagonalisierbar oder, was das Selbe ist, ===> halbeinfach . Ihre Eigenvektoren bilden eine ===> Ortogonalbasis; du kannst sie mit einer Drehung bzw. ===> unitären Transformation diagonalisieren.

   Von Daher gibt es auch das Witzwort, die Hermiteschen Operatoren seie die " reellen Zahlen " unter den Matrizen.  Wenn du dir nix Konkretes darunter vorstellen kannst - schau mal in Wiki unter " Trägheitstensor " Was Hermitesche Operatoren insbesondere mit Physik zu tun haben, findest du in dem QM Lehrbuch von Eugen Fi ck.

    Also den " Sinn " hinter dieser Lerneinheit kann ich dir nicht " machen " Ich kann nur, wenn du endlich mal  anfängst zu lernen, dir deine Fragen beanteorten.

    Was ist ein Skalarprodukt? Schreib mal die ganzen Axiome zusammen; dann wirst du auch verstehen, dass jede Hermitesche Matrix H ein Skalarprodukt induziert < x | H | y >  Physiker nennen dieses H den " metrischen Fundamentaltensor " ; auch in Einsteins ===> ART spielt er eine große Rolle.

   Es gibt übrigens eine sehr tief liegende Wahrheit, den ===> Sylvesterschen Trägheitssatz .Wäre nicht verkehrt, wenn du dich mal damit vertraut machst, was die ===> Signatur einer Metrik ist.

   Ich wenn hier Aufgaben löse. Dann ist das in aller Regel geistige Onanie; das heißt ich mache das, was MIR spannend erscheint, worauf ICH Lust habe.

   Was ich doch sagen will. Hättest du dich mit dieser Lerneinheit beschäftigt, hättest du diese ganzen Fragen nicht.

Comments

Das Problem ist das ich das ganze um Eigenwerte in Matrizen eigentlich kenne nur wird uns während der Vorlesung meist gar nicht richtig verständlich, da es alles ziemlich akademisch gehalten ist und ziemlich trocken ist.

Das ist eine Übungsaufgabe die ich so noch gar nicht kenne und vielleicht könntest du mir ja anhand einer rechnerischen Ausführung zeigen wie ich sowas in Zukunft lösen kann.

Danke dennoch viel mals für deine Mühe.

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Ich merke gerade das deine Erklärung viel zu Allgemein ist und gar nicht auf mein Problem eingeht.

Was Matrizen sind weiss ich bereits auch schon es ging mir eigentlich nur um diese Aufgabe, wie man den Text zu verstehen hat und auch wie man solche Aufgaben halt löst.

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  Genau das habe ich aber schon angeregt. Was du begreifen musst, ist ganz allgemein dieser Zusammenhang zwischen SKALARPRODUKT und HERMITESCHEN MATRIZEN . Ich könnte jetzt sagen < x | H  y > oder x ( i ) y ( j ) g ( i ; j ) Wenn du das absolut noch nie gesehen hast - es steht wirklich in allen Lehrbüchern.

   Wenn du es begriffen hast, kannst du auch die Aufgabe. Wenn du aber gar nicht weißt, wovon hier die Rede ist, nützt dir auch die Aufgabe nix; ich bin ehrlich gesagt für " Hilfe zur Selbsthilfe "

   Dieses obige verallgemeinerte Skalarprodukt bezeichnet man auch als ===> homogene quadratische Form; unter dem Stichwort würd ich glatt mal in Wiki nachsehen. Im Falle z.B. des Trägheitstensors ergibt diese quadratische Form die Rotationsenergie.

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Hermitesche Matrizen sind nicht das Thema gewesen aber habs bereits gelöst.
Mir hätte einfach ein Rechenbeispiel genügt, weil ich wie bereits gesagt mit sowas nicht vertraut bin.
homogene quadratische Form und etc was du geschrieben hattest ist gar nicht das Thema gewesen.
Schade. Wenn ich mir deine Eräuterung durchlese wirfst du nur viele Sachen quer durch den Raum die aber gar nicht auf das Problem eingehen und nur verwirren deswegen eine Bitte. Wenn du jemanden bei einer Aufgabe helfen möchtest dann fass dich konkreter, nicht so Allgemein und mach auch mal ein Rechenbeispiel. Das vereinfacht das Verständniss.
PS: Das machen auch viele Lehrer nur mal so als Anregung.

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Wenn du dir dafür zu Schade bist(Hilfe zur Selbsthilfe), dann brauchst du auch in Zukunft nicht unter meinen Fragen kommentieren.

Answer 2

Hi,

die Linearität ist denke ich offensichtlich.

Die positive Definitheit ist in den ersten beiden Zeilen der Aufgabe schon vorgegeben.

Symmetrie folgt aus der Symmetrieeigenschaft der Matrix G:

<x,y>= x^t G y transponieren beide Seiten

<x,y>=(x^t G y)^t=y^t G^t x =y^t G x = <y,x>

Damit wären alle Eigenschaften gezeigt.

Für den Fall, dass G die Einheitsmatrix ist, erhält man das Standardskalarprodukt.

Comments

Müsste ich nicht einfach die Linearität im ersten und im zweiten Argument überprüfen ?

Also zum Beispiel:

<x,y> := x^T G y definiert

<x+z,y> = (x+z)^T G y = x^T A y + z^T G y Daraus folgt <x,y> + <z,y>

<lambda*x,y> (lambda*x)^T G y = lambda(x^T G y) = lambda<x,y>

-> Daraus folgt x y ist im 1ten Argument linear

<x,y+z> = x^T G (y+z) = x^T G y + x^T G x = <x,y> + <x,z>

<x,lambda*y> x^T G (lambda*y) =  x^T G * lambda * y = lambda(x^T * G * y) = lambda<x,y>

-> Daraus folgt das x y im 2ten Argument ebenfalls linear ist und somit ist <x,y> aus der Rechnung heraus bilinear und ein Skalarprodukt ist, da es bereits positiv Definit und auch Symmetrisch ist.      

Wäre das so richtig ?

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Yup, hast alles richtig gemacht.

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Ok Danke dir :)

Hab mich mit dieser Schreibweise nie so wirklich anfreunden können bei Vektoren .