Gegeben sei folgende 3*3-Matrize. Bestimme die inverse Matrix.

Question

Ich muss von einer gegebenen Matrize A die Inverse A^{-1} ausrechnen, weiss aber nicht wie.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Gibt es eigentlich einen anderen Weg, die Determinante von a zu lösen als mit der Regel von Sarrus?

Comments

Versuch mal nachzuvollziehen, wie bei folgendem Beispiel die Inverse berechnet wird. Du kannst die Methode vermutlich seibst auf dein Beispiel übertragen: https://www.mathelounge.de/8347/inverse-von-zwei-matrizen-einmal-2x2-und-3x3-hilfe

Answer 1

Ich bringe A auf reduzierte Zeilenstufenform und führe die gleichen Umformungsschritte mit der Einheitsmatrix durch. Die umgeformte Einheitsmatrix ist dann A^-1:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\quad  & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1\quad  & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2\quad  & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ (2)-2·(1),\quad (3)-3·(1)\quad \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\quad  & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -7\quad  & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -8 & -10\quad  & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ (1)+\frac { 1 }{ 2 } ·(2),\quad (3)-\frac { 8 }{ 6 } ·(2)\quad \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac { 1 }{ 2 } \quad  & 0 & \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \\ 0 & -6 & -7\quad  & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac { 2 }{ 3 } \quad  & -\frac { 1 }{ 3 }  & -\frac { 8 }{ 6 }  & 1 \end{pmatrix}\\ (2)-\frac { 21 }{ 2 } ·(3),\quad (1)+\frac { 3 }{ 4 } ·(3)\quad \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\quad  & -\frac { 1 }{ 4 }  & -\frac { 1 }{ 2 }  & \frac { 3 }{ 4 }  \\ 0 & -6 & 0\quad  & \frac { 3 }{ 2 }  & 15 & -\frac { 21 }{ 2 }  \\ 0 & 0 & -\frac { 2 }{ 3 } \quad  & -\frac { 3 }{ 2 }  & -\frac { 8 }{ 6 }  & 1 \end{pmatrix}\\ -\frac { 1 }{ 6 } ·(2),\quad -\frac { 3 }{ 2 } ·(3)\quad \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\quad  & -\frac { 1 }{ 4 }  & -\frac { 1 }{ 2 }  & \frac { 3 }{ 4 }  \\ 0 & 1 & 0\quad  & -\frac { 1 }{ 4 }  & -\frac { 5 }{ 2 }  & \frac { 7 }{ 4 }  \\ 0 & 0 & 1\quad  & \frac { 9 }{ 4 }  & 2 & -\frac { 3 }{ 2 }  \end{pmatrix}\\ Also\quad ist\quad { A }^{ -1 }=\begin{pmatrix} -\frac { 1 }{ 4 }  & -\frac { 1 }{ 2 }  & \frac { 3 }{ 4 }  \\ -\frac { 1 }{ 4 }  & -\frac { 5 }{ 2 }  & \frac { 7 }{ 4 }  \\ \frac { 9 }{ 4 }  & 2 & -\frac { 3 }{ 2 }  \end{pmatrix} $$