Dies ist der vierte Teil meiner Kurzzusammenfassung für die Themen aus der linearen Algebra. Diese Zusammenfassung habe ich im Rahmen einer Prüfungsvorbereitungsstunde für meine Tutanden entstanden. Das (überarbeitete) Skript dazu gibt es in absehbarer Zeit als PDF auf meiner Webseite.
Teil 1: https://www.mathelounge.de/529060/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-1
Teil 2: https://www.mathelounge.de/529158/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-2
Teil 3: https://www.mathelounge.de/529170/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-3
4.3 Berechnung der Determinanten
Zur Berechnung der Determinante gibt es verschiedene Verfahren. Wir betrachten zunächst die Berechnung für \(2\times2-\) und \(3\times 3-\)Matrizen.
1.) \(\left(\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right)\Longrightarrow\det(A) = |A|=a\cdot d - c\cdot d\)
2.) \( \left(\begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix}\right) \Longrightarrow \det(A) = |A|=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g + c\cdot d\cdot h - g\cdot e\cdot c - h\cdot f\cdot a - i\cdot d\cdot b \)
Für die Berechnung der Determinante im Fall einer \(3\times 3-\)Matrix kann die \textbf{Regel von Sarrus} angewendet werden.
- Hierbei werden die ersten beiden Spalten direkt neben die Matrix geschrieben: $$\left|\begin{matrix} a & b & c & \mid & a & b\\ d & e & f & \mid & d & e\\ g & h & i & \mid & g & h\\ \end{matrix}\right| $$
- Danach zieht man Diagonalen von oben links beginnend nach unten rechts. Die auf einer Diagonale liegenden Elemente werden multipliziert, also \(a\cdot e\cdot i\), \(b\cdot f\cdot g\) und \(c\cdot d\cdot h\). Anschließend werden diese Produkte addiert.
- Nun werden die Diagonalen von unten links nach oben rechts gezogen. Die auf einer Diagonale liegenden Elemente werden multipliziert, also \(g\cdot e\cdot c\), \(h\cdot f\cdot a\) und \(i\cdot d\cdot b\).
Zur Berechnung der Determinante höherer Ordnungen (ab \(4\times 4-\)Matrizen) bieten sich folgende Verfahren an:
- \(LU-\)Zerlegung der Matrix und anschließende Multiplikation der Hauptdiagonalelemente (oben links nach unten rechts).
- Laplacescher Entwicklungssatz
Beim Laplaceschen Entwicklungssatz geht man folgendermaßen vor:
1.) Man sucht sich eine Zeile oder Spalte in der Matrix aus, nach der entwickelt werden soll. Um Rechenarbeit zu sparen, wählt man eine Zeile oder Spalte aus, in der sehr viele Nullen auftauchen, weil das die Berechnung sehr vereinfacht.
2.) Man bildet eine „Vorzeichenmatrix“, die vom selben Format wie die Matrix ist, von der die Determinante berechnet werden soll. Man trägt nun abwechselnd \(+\) und \(-\) für die Elemente ein. Begonnen wird oben links (\(a_{1,1}\) mit einem \(+\). Gleichnamige Vorzeichen dürfen sich fortan nur noch diagonal berühren. Allgemein gilt: $$ \left(\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{matrix}\right) \Longrightarrow \left(\begin{matrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{matrix}\right)$$ 3.) Man wählt nun ein Elemente auf der ausgewählten Zeile oder Spalte aus und streicht die Zeile und Spalte, auf der das jeweilige Element liegt, (gedanklich) durch.
4.) Die übriggebliebenen Elemente ergeben eine Matrix. Für diese \glqq Streichmatrix\grqq$ $ wird nun die Determinante berechnet (\(LU-\)Zerlegung, Regel von Sarrus, Laplacescher Entwicklungssatz, ...) und das Ergebnis mit dem ausgewählten Element und dem entsprechenden Vorzeichen aus der Vorzeichenmatrix multipliziert.
5.) Die Schritte \(3\) und \(4\) werden für alle Elemente auf der ausgewählten Zeile oder Spalte durchgeführt. Die Ergebnisse werden anschließend multipliziert.
Man sieht, dass die Auswahl einer Zeile oder Spalte mit vielen Nullen sehr viel Schreib- und Rechenaufwand spart. Da am Ende der Berechnung der „Streichmatrix-“Determinante das Ergebnis mit dem entsprechenden Element \(0\) multipliziert wird, kann man die Berechnung direkt auslassen. Somit ist auch klar: Wenn eine Nullzeile oder Nullspalte in der Matrix auftaucht, dann ist die Determinante \(0\). Die Umkehrung gilt allerdings nicht, da die Determinante einer Matrix auch \(0\) sein kann, ohne dass eine Nullzeile oder Nullspalte auftaucht (z. B. wenn mindestens zwei Zeilen oder Spalten linear abhängig sind).
5. Zusammenhänge:
Gegeben sei eine quadratische Matrix \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- \(\mathrm{rank}(A)=n\)
- \(\det(A)\neq 0\)
- \(A\) ist regulär
- \(A\) ist invertierbar
- Der Spaltenraum \(C(A)\) besitzt die Dimension \(n\)
- Der rechte Nullraum \(N(A)\) besitzt die Dimension \(0\)
- Der Zeilenraum \(C(A^T)\) besitzt die Dimension \(n\)
- Der linke Nullraum \(N(A^T)\) besitzt die Dimension \(0\)
- \(Ax=b\) ist eindeutig lösbar.
- \(Ax=b\) ist für alle \(b\in\mathbb{K}^n\) eindeutig lösbar
- \(Ax=0\) besitzt nur die triviale Lösung \(x=0\)
Wenn eine dieser Eigenschaften für eine Matrix erfüllt ist, dann gelten automatisch auch alle anderen!
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