Zeigen, dass durch ||(x,y,z)|| = |x| + |y-x| + |z-y| eine Norm auf R^3 gegeben wird.

Question

Hallo ! Ich weiss schon die Eigenschaften der Normen,leider kann ich das nicht beweisen.
Kann mir jemand beim Beweis helfen ?

Die Aufgabe ist :

Answer 1

1. Definitheit: zu zeigen  ||a|| = 0 ⇒ a = 0  für alle a aus R^3

sei also a = ( x,y,z) und ||x|| = 0 dann ist

|x| + | y-x| + |z-x| = 0

und weil Beträge nie negativ sind  und die

Summe dreier nicht-negativer Werte nur dann 0

ist, wenn alle drei 0 sind

|x| =0  und |y-x| = 0   und | z-x | = 0

aus |x| = 0 folgt x = 0

und das bei der 2. und 3. eingesetzt gibt y= 0  und z=0

also a = ( 0,0,0) .    q.e.d.

Comments

wesentlich lästiger ist dann aber noch die Dreiecksungleichung zu beweisen

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2. absolute Homogenität   || b*a || = |b| * ||a|| für b aus R und a aus R^3

sei wieder  a = ( x,y,z)  und b aus R dann ist
ba  = ( bx,by,bz)also
|| ba || = |bx| + | b(y-x)| + |b(z-x)|

= |b||x| + | b||(y-x)| + |b||(z-x)|

= |b| ( |x| + |(y-x)| +|(z-x)|)

= |b| * || a ||.   q.e.d.

Dreiecksungleichung schaffst du alleine ! ?

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Dann will ich mich mal nicht drücken vor der Dreiecksungl:

a,b aus R^3 mit a=(x,y,z) und b= (u,v,w)

a+b = ( x+u, y+v, z+w)

||a+b|| = | x+u| + | y+v-(x+u) | + | z+w - ( x+u) |

= | x+u| + | y-x + v-u | + | z-x  +w -u |

Dreiecksungl. für den Betrag liefert

≤ |x| + |u| + | y-x|  + | v-u | + | z-x|   +| w -u |

umsortieren

= |x|+ | y-x|  + | z-x|   + |u|   + | v-u |  +| w -u | 

= ||a|| + || b|| .    q.e.d.

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Hatte beim Lesen der Aufgabe verwerflicherweise tatsächlich nicht an die Betrag-Dreiecksungleichung gedacht.

Doch nicht so lästig :-)