Beweise: a) β=3ε b) ∠CMA=3∠CME ...

Question

Über 6 Punkte A, B, C, D, E und M ist folgendes bekannt:

1)  A, B, C bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in C.

2) M ist Mittelpunkt von Strecke AB.

3) D liegt auf der Strecke AC (DC kürzer als AD).

4) E ist Schnittpunkte von BC und MD.

5) Die Strecken ED und AB sind gleichlang.

6) ∠CBA=β und ∠DEC=ε

    (∠ Winkelzeichen)

Beweise:

a) β=3ε

b) ∠CMA=3∠CME

Answer 1

Hi,

habe Dir mal eine Skizze gemacht:

Beachte, dass ich zwei Thaleskreise eingezeichnet habe. Dabei ist F der Mittelpunkt der Strecke ED. Wir haben dabei ein gleichschenkliges Dreieck mit EFC sowie ein weiteres bei CMB.

Wir können nun den Winkel bei F bestimmen zu: x = 180°-2ε (haben ja bei E den Winkel ε und da gleichschenklig auch bei C)

Nun schauen wir uns noch das Dreieck FCM an. Das ist (bei mir leider nicht ganz gelungen :P) ebenfalls gleichschenklig, denn die Strecke FD = AM (erinnere Dich, dass ED = AB) und es ist ja BM = CM.

Folglich muss auch der Winkel MFC wieder ∠MFC = 180° - x = 2ε sein -> ∠FMC = 2ε (da gleichschenklig).

Damit kann man nun den Winkel FCM bestimmen ∠FCM = 180° - 4ε. Dieser kann auch über die beiden Nebenwinkel ausgedrückt werden. ∠FCM = 180° - ε - β

Also 180° - 4ε = 180° - ε - β --> β = 3ε

Alles klar?

P.S.: Ich hoffe Du druckst das Bild aus und hängst es Dir übers Bett. Hat mich bestimmt 30 Minuten gekostet -.- :P

Grüße

Comments

Für den zweiten Teil.

Dreieck ABC:

Liefert ∠CAB = 180° - 90° - β = 180° - 90° - 3ε = 90° - 3ε

Dreieck AMC ist gleichschenklig.

Liefert: ∠AMC = 180° - 2(90° - 3ε) = 6ε

Nun Dreieck ECM anschauen.

Die Innenwinkelsumme ergibt sich zu:

90°+∠CAB + ε + ∠EMC = 180°
(Erster Summand setzt sich zusammen aus dem ∠ECA = 90° und ∠ACM = ∠CAB)

Mit ∠CAB = 90° - 3ε
--> 90°+90°-3ε + ε + ∠EMC = 180°
2ε = ∠EMC


VERGLEICH
∠EMC - ∠AMC
2ε - 6ε
ε - 3ε
--> 3∠EMC = ∠AMC