Geradengleichungen in Form von Parameter-, Normal und Koordinatenform darstellen

Question

Ich bitte Euch dieses Beispiel zu kontrollieren und Unklarheiten abzuschaffen.

Eine Gerade geht durch den Punkt P(6/-4) und hat den Richtungsvektor (3;7)

Stellen Sie die Geradengleichung
-in Vektor Parameterform
- in Normalenvektoreform
- in Koordinatenform (parameterfrei)

Lösung:
Parameterform:

 $$ \begin{matrix} 6 \\ -4 \end{matrix}+ t *  \begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix}$$

Normalenvektorform: $$n*X =  \begin{matrix} 6 \\ -4 \end{matrix}  *  \begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix} $$
=  6x-4y=-10

Koordinatenform: weiß leider nicht was das ist, ist damit die Hauptform gemeint? und was meint man mit parameterfrei?

Answer 1

Leider fehlen die Klammern bei deinen Vektoren. Die bringe ich auch nicht hin. Wichtig ist, dass alles Gleichungen sind. D.h. du musst immer ein gleich dabei haben und 2 Seiten der Gleichung.

Eine Gerade geht durch den Punkt P(6/-4) und hat den Richtungsvektor (3;7)

Stellen Sie die Geradengleichung
-in Vektor-Parameterform
- in Normalenvektorform
- in Koordinatenform (parameterfrei)

Lösung:
Parameterform:

 $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}+ t *  \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Normalenvektorform: $$n*X = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}  *  \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} $$ 

  6x-4y=-10

Koordinatenform: weiß leider nicht was das ist, ist damit die Hauptform gemeint? 

In der Koordinatenform kommen (nur) die Koordinaten vor. Z.B. so: 6x-4y= -10 

oder

6x + 10 = 4y

oder

1.5x + 2.5 = y 

und was meint man mit parameterfrei?

Der Parameter ist das t Element R in der Parameterform. Parameterfrei heisst "ohne Parameter". Das ist bei der Normalenvektorform und bei der Koordinatenform der Fall. 

Hier nun mal meine Rechnung:

Eine Gerade geht durch den Punkt P(6/-4) und hat den Richtungsvektor (3;7)

Stellen Sie die Geradengleichung 
-in Vektor-Parameterform 

(x , y) = (6, -4)  + t*(3,7), t ∈ℝ  fertig. [ Vektoren untereinander schreiben] 
- in Normalenvektorform 
- in Koordinatenform (parameterfrei)

Parameterform umformen:

x = 6 + 3t      | * (7)

y = -4 + 7t    | *(-3) 

------------------------

7x = 42 + 21t

-3y = 12 - 21t 

---------------------  +

7x - 3y = 54   Koordinatenform. 

7x - 54 = 3y

7/3 x - 18 = y 

Illustration:

~plot~ 7/3 x - 18; [[20]]; {6|-4} ~plot~

Zumindest der angegebene Punkt liegt auf dieser Geraden. Und die Richtung des Richtungsvektors stimmt einigermassen. 

Du hattest bei der Normalenvektorform einen Fehler.

Comments

Mit \pmatrix statt \matrix wird die Matrix geklammert (also in irgendeinem Sinne als Parenthese) dargestellt:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} $$

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az0815: Besten Dank. Habe die pmatrix gleich übernommen.

Das ist jetzt aber noch nicht die ganze Korrektur.

Richtungsvektor (3;7)

heisst: Normalenvektor n = ( 7; -3) 

Daher muss man die Normalenvektorform nochmals neu rechnen. Vgl. die Antwort von mathef. 

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Ich hätte noch ein paar fragen kann ich auch theoretisch *(-7) und * 3 machen oder wäre das falsch. Und wie muss man den Normalvektor kippen?

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Das kannst du machen, wie du willst. Ich versuche jeweils zu viele Minus zu vermeiden.

mathef hat es umgekehrt gemacht und dadurch rechts -54 erhalten.

Answer 2

Param.form stimmt.

Ein Normalenvektor ist z.B.

-7
3

weil der mal

3
7

eben 0 ergibt.

Also Normalenform

n*x = a*n

-7    *    x     =  -7*6 + 3*(-4)  =  -54
3          y  

und Koordinatenform ist das gleiche ausgerechnet

-7*x + 3*y = -7*6 + 3*(-4)

-7x + 3y = -54    ( Koordinatenform)

Answer 3

Parameterform [x,y] = [6,-4]+t·[3,7] (Vektoren natürlich in Spaltenform). Bei dir finde ich kein Gleichheitszeichen.

Für die Normalenform muss man erst einen Normalenvektor herausfinden, z,B [7,-3] und die Parameterform damit durchmultiplizieren.

Die Koordinatenform ist die Geradenbleichung der Mittelstufe. Diese ist auch parameterfrei.