Unterschiedliche Parameter bei Geradengleichungen Flugbahnen

Question

Hallo,

ich habe eine Frage. Wenn ich zwei Geraden aufstellen soll, die jeweils für eine Flugbahn stehen, warum muss ich da unterschiedliche Parameter wählen?

Der Parameter t steht z.B. für die Zeit, aber beide Flugbahnen brauchen ja den Parameter t, da er für die Zeit steht.

Ich habe folgende Aufgabe:

Flugzeug 1: P1(-15|-20|8,6) um 14:10 Uhr

              P2(10|30|11) um 14:15 Uhr

Flugzeug 2: Q1(-20|20|11,04) um 14:10 Uhr

              Q2(20|0|9,04) um 14:15 Uhr

Warum dürfte ich für die geraden nicht denselben Parameter t wählen, er steht ja für bei beiden Flugbahnen für die Zeit 5min.

Vielen Dank!

Answer 1

Allgemein: für die Untersuchung der Lagebeziehung zweier Geraden immer zwei unterschiedliche Parameter nehmen, weil der Bezugspunkt (Stützvektor) und die Länge der Richtungsvektoren nicht gleich sein muss. Da kann kann der gleiche Parameter für beide Geraden einen unterschiedlichen Abstand zum Bezugspunkt bedeuten.

Bei Flugbahnen: es kommt immer darauf an, welche Bedeutung der Parameter hat. Untersucht man die Lage der Flugzeuge zu einem bestimmen Zeitpunkt, so kann man den Parameter entsprechend für die Zeit wählen. Ist das ganze jetzt noch an eine Uhrzeit geknüpft, wie in deinem Fall, so muss man auch das berücksichtigen. Grundsätzlich sollte man daher immer mit unterschiedlichen Parametern arbeiten und am Ende diese interpretieren. Eine Kollision bedeutet dann bspw., dass die Flugzeuge zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind. Das kann bei gleichen Parametern der Fall sein, muss aber nicht, wenn die Parameter nicht gleich definiert sind, zum Beispiel 5 Minuten und 10 Minuten.

Soll man zum Beispiel den geringsten Abstand der Flugzeuge berechnen, wird ebenso nur ein Parameter verwendet, vorausgesetzt sie haben die gleiche Zeitdauer. Ansonsten muss man die Richtungsvektoren anpassen, um auf die gleiche Zeit zu kommen.

Daher rate ich immer: arbeite mit zwei verschiedenen Parametern und interpretiere diese anschließend richtig.

Answer 2

Hallo,

Um die Geradengleichungen aufzustellen, nimmst du ja P1 als dein Stützvektor und P2-P1 als dein Richtungsvektor, wobei du weißt, dass die Strecke des Richtungsvektors in 5 Minuten geflogen wurde. Der Parameter t ist genau dann 1, wenn du sagen möchtest, wie lange das Flugzeug bis zum Punkt P2 braucht. Das Gleiche gilt für die zweite Geradengleichung. Das t ist also eine freie Variable und hat keinen festen Wert. Du kannst ja zum Beispiel auch gucken an welchem Punkt die beiden Flugzeuge nach 30 oder 5000 Minuten sind. Wichtig zu verstehen ist, dass t=1 für 5 Minuten steht und du demnach für t=2 die Position des Flugzeugs nach 10 Minuten überprüfst usw.

Gruß

Comments

Danke für deine Antwort.

Das habe ich auch verstanden. Nur wenn ich jetzt die Lagebeziehung der geraden überprüfen möchte ist meine Frage, warum ich dafür zwei verschiedene Parameter benötige?

Answer 3

Wenn es um die technisch-physikalische Beschreibung der Flugbahnen geht, hat man einen gemeinsamen Parameter t für die Zeit: Die Geradendarstellungen geben für jeden Zeitpunkt t den Ort an, wo sich die Flugzeuge jeweils befinden. Wenn man wissen will, ob die beiden Flugzeuge zusammenstoßen, setzt man beide Darstellungen gleich und prüft, ob es eine Lösung für t gibt.

Wenn man sich nur dafür interessiert, ob die Bahnen geometrisch einen Schnittpunkt haben, braucht man 2 Parameter- für jede Gerade einen. Im Kontext mit den Flugbahnen: Jedes der Flugzeuge passiert den gemeinsamen Punkt der Bahnen- ABER zu verschiedenen Zeiten.

Comments

Heißt das, wenn ich allgemein die Lagebeziehung zweier geraden überprüfe, wähle ich zwei verschiedene Parameter.

Wenn es aber um Flugbahnen geht wie in diesem Beispiel, bei dem für t=1 die zurückgelegte Strecke für 5 min steht, ich den Parameter t bei beiden Geraden stehen lassen kann? Brauche ich hier dann nicht zwei verschiedene Parameter für die schnittbedingung?

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Schnittbedingung für Kollision: 1 Parameter, Bedeutung: Zeit.

Schnittpunkt nur geometrisch: 2 Parameter

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Vielen Dank!

Wenn ich jetzt aber für die Schnittbedingung für die Kollision einen Parameter nehme, dann kann ich hinterher aber bei meinem LGS nicht alle t‘s Zusammenfassen, weil das eine t von dem Richtungsvektor von der einen gerade ist und das andere t von der anderen gerade.

Z.B. wenn ich beide Geradengleichubgen gleichsetze erhalte ich:

25t -40t = -5

50t +20t = 40

2,4t + 2t = 2,44

Wenn ich zwei Parameter hätte, würde ich folgendes erhalten:

25t -40r = -5

50t +20r = 40

2,4t + 2r = 2,44

Frage: wenn ich das nur mit einem Parameter rechne, kann ich ja nicht alle t‘s Zusammenfassen oder? Wie rechne ich das dann?

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Es ist doch beides t, also kannst du es zusammenfassen. Rechne es aus und schaue, ob das gleiche rauskommt. Warum? Bzw. warum nicht? Die Interpretation ist immer wichtig.

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Es kommt nicht dasselbe raus. Aber laut der Aufgabe schneiden sich die geraden bzw. die Flugbahnen. Wenn ich es mit zwei Parametern berechne komme ich auf einen Schnittpunkt….

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Das bekommst du im ersten Fall nicht, weil es keinen Parameter gibt, so dass die Flugzeuge zur selben Zeit am selben Ort sind.

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wenn ich es mit zwei Parametern berechne komme ich einmal auf t= 0,6 und einmal auf t=0,5. Das bedeutet für meine Interpretation, dass es zu keiner Kollision kommt, aber die Flugbahnen sich kreuzen/ schneiden.

Versteht ich das richtig?

Wenn ich das jetzt mit einem Parameter t berechne, kommen verschiedene t‘s raus, das bedeutet, dass es zu keiner Kollision kommt? Woher weiß ich jetzt aber, ob sich die Flugbahnen schneiden?

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Das weißt du in dem Fall nicht. Deswegen siehe dazu auch meine Antwort: grundsätzlich mit zwei Parametern arbeiten.

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Vielen Dank!!!

Answer 4

Das hängt von der Fragestellung ab.

Z.B. setzt man für die Fragestellung, ob sich die Flubbahnen schneiden die beiden Geraden mit unterschiedlichen Parametern gleich, weil sich die Geraden vielleicht schneiden aber die Flugzeuge nicht im selben Zeitpunkt den Schnittpunkt durchfliegen.

[-15, -20, 8.6] + r·[25, 50, 2.4] = [-20, 20, 11.04] + s·[40, -20, -2] --> r = 0.6 ∧ s = 0.5

Du siehst jetzt, dass sich die Flugbahnen schneiden das Flugzeug 1 aber in 0.6 * 5 min = 3 min am Schnittpunkt ist und Flugzeug 2 bereits in 0.5 * 5 min = 2.5 min den Schnittpunkt durchfliegt.

Die Flugzeuge durchfliegen den Schnittpunkt mit einem zeitlichen Abstand von einer halben Minute.

Ist das so verständlich? Wenn nicht, frag gerne nochmals nach.

Comments

Super Erklärung, vielen Dank!

Du meinst vermutlich, dass sie den Schnittpunkt mit einem zeitlichen Abstand von einer halben Minute durchfliegen oder? Weil 3min - 2,5min = 0,5 min.

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Genau das meinte ich. Hatte nur das "halbe" im Text vergessen.

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Nochmals geht es nur um die Geraden oder nur um die Flugbahnen, dann nimmst du zwei verschiedene Parameter.

Geht es allerdings um die Flugzeuge auf den Flugbahnen zu bestimmten Zeiten nimmst du nur einen Parameter. Wobei dann aber das t wie bei dir für gleiche Zeiten wie 5 Minuten stehen müsste.

Das macht man z.B. um einen minimalen Abstand der Flugzeuge zu bestimmen.

d(t) = |[-15, -20, 8.6] + t·[25, 50, 2.4] - ([-20, 20, 11.04] + t·[40, -20, -2])|

d(t) = √(3215225·t^2 - 3607170·t + 1019346)/25

t = 0.5610 ZE

d(0.5610) = 3.492 LE

Nach ca. 0.5610 * 5 min = 2.805 min. kommen sich die Flugzeuge mit einem Abstand von 3.492 (km?) am dichtesten.

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Wähle ich einen Parameter, kann ich jedoch nur herausfinden, ob es zur Kollision kommt. Mehr kann ich ja nicht herausfinden, z.B. wie ob sich die Flugbahnen schneiden. Dafür benötige ich dann zwei Parameter, richtig?

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Wie gesagt betrachtest du nur die Bahnen (Geraden) dann nimmst du 2 Parameter. Betrachtest du nur die Flugzeuge auf den Bahnen dann nimmst du nur einen Parameter. Das könnte dann eine Kollision oder aber auch ein minimaler Abstand sein.

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Vielen dank!!