Flugbahnen Parametergleichung

Question

Aufgabe: Die geradlinigen Flugbahnen zweier Flugzeuge F1 und F2 sollen mithilfe eines Koordinatensystems angegeben werden.

Zu Beobachtungbeginn ist F1 am Punkt A(20/15/10) und fliegt in fünf Minuten bis zum Punkt B(32/19/13). F2 fliegt in derselben Zeit von C(-10/15/15) nach D (-15/35/11). Es wird angenommen, dass Windstille herrscht. Die Koordinaten in Kilometern angegeben.

a.) Parametergleichungen angeben die die Flugbahn von F1 und F2 beschreiben.

Als Ansatz habe ich dort bei g: schonmal Punkt A als Richtungsvektor

also A(20/15/10)+t* und der zweite Vektor ist mir unbekannt. Dasselbe Problem habe ich auch bei Gerade h. Also wie stellt man eine Parametergleichung auf.

b.) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge in Kilometer pro Stunde.

c.) Kreuzen sich die beiden Flugbahnen

d.) Bei sehr klarem Wetter beträgt die Sichtweite etwa 50 km. Können sich die beiden Flugzeuge zu Beginn der Beobachtung und nach 5min erkennen?

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Vom Duplikat:

Titel: Vektoren Flugzeug ausrechnen

Stichworte: flugzeug,vektoren

Aufgabe: Zu Beobachtungbeginn ist F1 am Punkt A(20/15/10) und fliegt in fünf Minuten bis zum Punkt B(32/19/13). F2 fliegt in derselben Zeit von C(-10/15/15) nach D (-15/35/11). Es wird angenommen, dass Windstille herrscht. Die Koordinaten in Kilometern angegeben.

Bei sehr klarem Wetter beträgt die Sichtweite etwa 50 km. Können sich die beiden Flugzeuge zu Beginn der Beobachtung und nach 5min erkennen?

Answer 1

Als Ansatz habe ich dort bei g: schonmal Punkt A als Richtungsvektor

Punkte sind keine Vektoren. Also kann Punkt A nicht der Richtungsvektor sein.

Der Ortsvektor von A könnte der Richtungsvektor sein. Das wäre aber falsch, weil der Ortsvektor von A der Vektor vom Ursprung zum Punkt A ist, aber das Flugzeug nicht vom Ursprung in Richtung des Punktes A fliegt. Stattdessen fliegt das Flugzeug vom Punkt ___ in Richtung des Punktes ___. Also kann man den Vektor vom Punkt ___ zum Punkt ___ als Richtungsvektor verwenden.

also A(20/15/10)+t*

Das sieht nicht so aus als ob du den Ortsvektor von A als Richtungsvektor der Geraden verwenden willst, sondern als Stützvektor der Geraden. Das ist natürlich in Ordnung, weil sich das Flugzeug zu einem gewissen Zeitpunkt im Punkt A befindet.

und der zweite Vektor ist mir unbekannt

Der zweite Vektor ist der Richtungsvektor.

b.) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge in Kilometer pro Stunde.

1. Suche dir zwei Punkte heraus, durch die das jeweilige Flugzeug fliegt.
2. Berechne den Abstand dieser zwei Punkte.
3. Dividiere den Abstand durch die Zeit, die das jeweilige Flugzeug benötigt, um vom ersten Punkt zum zweiten Punkt zu gelangen.
4. Wandle das Ergebnis in die geforderte Einheit um.
   

Comments

g: (20,25,10) + t * (12,4,3)

h: (-10,15,15) + t * (-25,20,-4)

Diese Parametergleichungen habe ich heraus

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g ist korrekt.

Bei h möcht ich darauf hinweisen, dass -15 - (-10) = -5 ist, und nicht -25.

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Ok alles klar. Bei der Aufgabe b.) müsste ich doch lediglich t= 1/12 einsetzen oder und die Strecke die herauskommt wäre dann das Ergebnis

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und die Strecke die herauskommt

Es kommt dann keine Strecke heraus. Es kommt ein Vektor heraus. Und zwar der Ortsvektor des Punktes, in dem sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt 1/12 · 5min befinden.

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Wäre bei g: 780 kmh richtig und bei h: 1136.877 kmh

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bei Aufgabe c habe ich nach der Orthogonalitär geprüft. Da das Skalarprodukt 52 ist, denke ich sie kreuzen sich nicht.

Aber wie muss man bei Aufgabe d vorgehen?

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Wäre bei g: 780 kmh richtig und bei h: 1136.877 kmh

Nein.

bei Aufgabe c habe ich nach der Orthogonalitär geprüft.

Was hast du auf Orthogonalität gebrüft?

Schnittpunkte bestimmt man durch Gleichsetzten. Das geht bei Geraden genau so wie bei Funktionen. Im wesentlichen Handelt es sich bei Geradengleichungen um Funktiongleichungen, nur das halt nicht jedem x ein y zugeordnet wird, sondern (in diesem Fall) jedem Zeitpunkt der Ortsvektors eine Punktes auf der Flugbahn zugeordnet wird.

d.) Bei sehr klarem Wetter beträgt die Sichtweite etwa 50 km. Können sich die beiden Flugzeuge zu Beginn der Beobachtung und nach 5min erkennen?

Bestimme den Abstand der Punkte, zu denen sich die Flugzeuge zu den jeweiligen Zeitpunkten befinden

Answer 2

a) Parametergleichungen angeben die die Flugbahn von F1 und F2 beschreiben.

F1: X = [20, 15, 10] + r·([32, 19, 13] - [20, 15, 10]) = [20, 15, 10] + r·[12, 4, 3]
F2: X = [-10, 15, 15] + s·([-15, 35, 11] - [-10, 15, 15]) = [-10, 15, 15] + s·[-5, 20, -4]

b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge in Kilometer pro Stunde.

F1: |[12, 4, 3]| = 13 km / (5 min) = 156 km / (60 min) = 156 km/h
F2: |[-5, 20, -4]| = 21 km / (5 min) = 252 km / (60 min) = 252 km/h

c) Kreuzen sich die beiden Flugbahnen?

[20, 15, 10] + r·[12, 4, 3] = [-10, 15, 15] + s·[-5, 20, -4] → keine Lösung

Die Flugbahnen schneiden sich nicht.

d) Bei sehr klarem Wetter beträgt die Sichtweite etwa 50 km. Können sich die beiden Flugzeuge zu Beginn der Beobachtung und nach 5 min erkennen?

|[20, 15, 10] - [-10, 15, 15]| = 30.41 km
|[32, 19, 13] - [-15, 35, 11]| = 49.69 km

Sie sollten sich in sowohl am Anfang als auch nach 5 Minuten noch sehen können.