Maximale Gewinnzunahme an 2 Punkten?

Question

Also wir haben die Funktion g(x)=4x^4-8x^3-20x^2 gegeben bekommen! Ich hab jetzt die 2. Ableitung (g2"(x)=48x^2-48x-40) genommen um die maximalste Gewinnzunahme auszurechnen. Das ganze sieht so aus:

1. Notwendige Bedingung        g2"(0) = x1= -0,54, x2= 1,54
2. Hinreichende Bedingung       g2"(-0,56) > 0       g2"(-o,52) < 0 
    g2"(1,52) < 0       g2"(1,56) > 0

Also hab ich einen HP bei x1 und einen TP bei x2! Aber ich verstehe nicht ganz wieso ich hier nicht auch eine Gerade als 2. Ableitung herausbekommen habe! Bis jetzt waren es immer Geraden und irgendwie bin ich verwirrt. Wie bestimme ich jetzt die maximalste Gewinnzunahme und die Wendepunkte? Kann ich die Wendepunkte ganz normal wie bei einer Geraden einzeichnen?
Danke für die Hilfe!!

Answer 1

(1) es heißt "maximale" und nicht "maximalste". Maximal ist bereits ein Superlativ, den kann man nicht weiter steigern (auch wenn die Werbe-voll-deppen das immer wieder suggerieren).

(2) Für Extrempunkte f' = 0 und mit f'' kontrollieren.

Für Wendepunkte f'' = 0 und mit f''' kontrollieren.

Für Polynome wird der Grad bei jeder Ableitung um 1 reduziert, also hat f' den Grad 3 und f'' den Grad 2. Also hast Du 3 Extrempunkte und 2 Wendepunkte.

(3) Wir sind nicht mehr im Kindergarten. Es gibt mehr als 2 Zahlen, und die müssen auch nicht ganzzahlig sein.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Aber ich verstehe nicht ganz wieso ich hier nicht auch eine Gerade als 2. Ableitung herausbekommen habe! 

Bei jeder Ableitung reduziert sich der Grad des Polynoms um 1. Da die Funktion g den Grad 4 hat, hat die zweite Ableitung den Grad 4-2=2.

Schau dir den Graphen genau an und schreibe Nullstellen, Extremalstellen und Wendepunkte an: Du solltest erkennen, wie die Nullstellen der Ableitungen mit den andern Kurven zusammenhängen. 

 ~plot~ 4*x^{4}-8x^{3}-20x^{2};16x^{3}-24x^{2}-40x;48x^{2}-48x-40;[[-2|5|-100|40]] ~plot~

Ist g denn ein Gewinn? Stimmt das Vorzeichen? 

Du hast einmal eine maximale Gewinnzunahme und einmal eine maximale Gewinnabnahme.