Integral mit Varablen berechnen

Question

[întegral ( a) oben, (0) unten] f(x) dx=6   


[1/20·a⁴-7/10·a³+2,5·a²] - [0]=6
                                    

Ich möchte das integral, was ich schon richtig aufgeleitet habe, nach a auflösen.  Geht das, auch ohne spezial Taschenrechner oder ist es unmöglich a auch so schnell berechnen zu können ?

Herauskommen sollte a=2,26

Irgendwie fällt mir kein Lösungsweg ein.

Answer 1

Hi,

hier gibt es kein (sinnvoll anwendbares) Verfahren die Nullstellen direkt zu errechnen, wie das mit der pq-Formel möglich ist. Hier musst Du Dich wohl mit einem Näherungsverfahren zufrieden geben.

Newtonverfahren ist wohl das üblichste in der Schule. Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Beachte, dass Du bis zu vier Nullstellen erhältst. Du musst hier wohl die nächstgelegene positive Nullstelle wählen.

Grüße

Answer 2

du musst die Gleichung

1/20·a⁴-7/10·a³+2,5·a² - 6 = 0

⇔  a⁴ - 14a³ + 50a² - 120 = 0    lösen.

die Lösungen (Rechner) sind

a₁ ≈ -1,308946561 ;  a₂ ≈ 2,262375690  ;  a₃ ≈ 5,098187301 ; a = 7,948383569

Diese kann man "von Hand" nur sehr aufwändig explizit berechnen. Meist benutzt man ein numerisches Näherungsverfahren, z. B. das

Newtonverfahren:

f(x) = x⁴ - 14x³ + 50x² - 120 = 0

f '(x) = 4x³ - 42x² + 100x

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

die von dir angegebene Lösung erhält man z.B. mit dem

Startwert x_alt = 1   (die anderen Lösungen ergeben sich z.B aus anderen Startwerten -1 ; 5 und 7)

x	f(x)	f '(x)
1	-83	62
2,338709677	4,310189278	55,31620288
2,260790568	-0,091316163	57,63092494
2,262375067	-3,58871E-05	57,5856148
2,26237569	-5,57066E-12	57,58559697
2,26237569	0	57,58559697

Wenn man es nicht so genau haben will, kann man auch hier aufhören.

Gruß Wolfgang

Comments

danke, ich habe nur einen Casio fx911de Rechner.

Das klingt ja ganz schön kompliziert, ich glaube diese Aufgabe war nur für Nutzer für Spezialtaschenrechner gedacht, wir dürfen aber nur den Casio fx911de benutzen in der Prüfung, also glaube ich, diese Aufgabe kommt nicht dran ;)

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immer wieder gern :-)

War wohl doch nicht so "klar" bei Antwort 2 ?

Klingt komplizierter, als es ist. Mit einem normalen TR muss man aber schon etwas tippen :-)