Hi,
der "ausführliche" Weg geht immer, die Frage ist nur, ob sich der Aufwand lohnt.
So oder so musst Du Verständnis aufbringen, wie die Fakultät überhaupt funktioniert. Da ist der einfache Weg direkter und damit eben einfacher :D.
Dir ist ja klar, dass
k! = 1·2·...·(k-1)·k
bedeutet, nicht?
Das gleiche mit (k+1)!
(k+1)! = 1·2·...·(k-1)·k·(k+1) = k!·(k+1)
Wir haben also einen zusätzlichen Faktor. Es bietet sich also an mit k+1 zu erweitern, da man in beiden Fällen schon k! stehen hat und nur der eine Bruch ein k+1 misst.
Das gleiche gilt dann für (n-k-1)!.
(n-k-1)! misst genau einen Faktor um auf (n-k)! zu kommen:
(n-k-1)!·(n-k) = (n-k)!
Wir multiplizieren also bei dem einen Bruch mit (n-k) und schon haben wir den gemeinsamen Hauptnenner.
Wärst Du Deinen Weg gegangen, wären Zähler und Nenner gigantisch angewachsen und hättest letztlich doch die gleiche Umformung verwenden müssen :).
Grüße