Wie mache ich diese Brüche mit Fakultäten gleichnamig?

Question

Hi,

ich beschäftige mich gerade mit dem Binominalkoeffizienten.

Dort wollte ich für einen Beweis zwei Brüche gleichnamig machen, eigentlich weiß ich wie das geht. Aber funktioniert das auch beim Bin.koef. so einfach, wie ich mir das gerade gedacht habe?

$$  |*()k!(n-k)\quad \ $$

$$ |*(k+1)!(n-k-1) $$

So würde ich jetzt gleichnamig machen wollen, der Ausdruck könne dann nur ein bisschen "kompliziert" aussehen, aber ist der Ansatz richtig?

$$ \frac { n! }{ k!(n-k)! } +\frac { n! }{ (k+1)!(n-k-1) } |*()k!(n-k)\quad \& \quad *(k+1)!(n-k-1) $$

Comments

Als gemeinsamen Nenner kannst du (k+1)! *(n-k)! nehmen.

1. Bruch mit (k+1) und 2, Bruch mit (n-k) erweitern.

Ich hoffe, das hilft bei deiner Umformung

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Wo ich das gerade sehe. Warum kann man denn nicht den "komplizierten" Weg nehmen?

Das müsste doch auch funktionieren?

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Habe gerade gesehen, dass du ich ein Fakultätszeichen dazugedacht hatte. Deshalb nur noch Kommentar.

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" Warum kann man denn nicht den "komplizierten" Weg nehmen?

Das müsste doch auch funktionieren? "

Die Frage ist immer, was du beweisen willst. (Hast du nicht verraten) .

Dann musst du deine Umformungen auf dieses Ziel ausrichten, wenn du dir die Sache nicht unnötig schwer machen möchtest.

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Regel 5

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln

// Ich würde dort gerne den "komplizierten" Weg nehmen

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Ok. Dann hattest du in deiner Fragestellung ein ! vergessen und mein Kommentar ist eine Antwort.

Mach dir die Rechnung nicht zu kompliziert. Du musst halt nun geschickt ausklammern, damit du Fakultäten, die du zu viel hast, wieder wegkürzen kannst.

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Ich würde dort gerne den "komplizierten" Weg nehmen

Wer nimmt freiwillig den Weg über Timbuktu, wenn er nur zum nächsten Supermarkt will?

Eigentlich sollte es lauten warum kompliziert, wenn es auch einfach geht?

Du kannst es natürlich auch kompliziert machen. Aber vermutlich steigst du da dann noch viel weniger durch, wenn du das nachher schön kürzen musst um es zu vereinfachen.

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Da sehe ich etwas einfacher, wie und wo gekürzt bzw. zusammengefasst worden ist.

z.B. sehe ich nicht sofort, dass Bruch 1 mit (k+1) und 2, Bruch mit (n-k) erweitert werden kann.

 Daher versuche ich "ausführlich" zu erweitern, um dann auf das Ergebnis zu kommen (hoffentlich ;-))

Answer 1

Hi,

der "ausführliche" Weg geht immer, die Frage ist nur, ob sich der Aufwand lohnt.

So oder so musst Du Verständnis aufbringen, wie die Fakultät überhaupt funktioniert. Da ist der einfache Weg direkter und damit eben einfacher :D.

Dir ist ja klar, dass

k! = 1·2·...·(k-1)·k

bedeutet, nicht?

Das gleiche mit (k+1)!

(k+1)! = 1·2·...·(k-1)·k·(k+1) = k!·(k+1)

Wir haben also einen zusätzlichen Faktor. Es bietet sich also an mit k+1 zu erweitern, da man in beiden Fällen schon k! stehen hat und nur der eine Bruch ein k+1 misst.

Das gleiche gilt dann für (n-k-1)!.

(n-k-1)! misst genau einen Faktor um auf (n-k)! zu kommen:

(n-k-1)!·(n-k) = (n-k)!

Wir multiplizieren also bei dem einen Bruch mit (n-k) und schon haben wir den gemeinsamen Hauptnenner.

Wärst Du Deinen Weg gegangen, wären Zähler und Nenner gigantisch angewachsen und hättest letztlich doch die gleiche Umformung verwenden müssen :).

Grüße

Answer 2

Teile die Fakultäten nur geschickt auf

(k + 1)! = k! * (k + 1)

Dann ist das recht einfach

n! / (k! * (n - k)!) + n! / ((k + 1)! * (n - k - 1)!)

= n! * (k + 1) / (k! * (k + 1) * (n - k)!) + n! * (n - k) / ((k + 1)! * (n - k - 1)! * (n - k))

= n! * (k + 1) / ((k + 1)! * (n - k)!) + n! * (n - k) / ((k + 1)! * (n - k)!)

= (n! * (k + 1) + n! * (n - k)) / ((k + 1)! * (n - k)!)

= n! * (k + 1 + n - k) / ((k + 1)! * (n - k)!)

= n! * (n + 1) / ((k + 1)! * (n - k)!)

= (n + 1)! / ((k + 1)! * (n - k)!)

= (n + 1 über k + 1)

Comments

Die Regel die du damit bewiesen hast ist also

COMB(n, k) + COMB(n, k + 1) = COMB(n + 1, k + 1)

Wobei COMB(n, k) der Binomialkoeffizient ist.