Lineare Abbildung Vektorraum aller Polynome

Question

Sei V = ℝ₄[T] der Vektorraum alles Polynome vom Grad <= 4 und f:V->ℝ² die lineare Abbildung definiert durch

P->f(P) = (P(1), P'(0)), für alle P∈ℝ₄[T]

(Hier bezeichnet P' die Ableitung von P)

Gesucht ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis 1,t,t²,t³,t⁴ von V bzw. der Standardbasis e₁,e₂ von ℝ² an. Bestimmen Sie den Rang und den Kern von f.

Answer 1

Es ist $$f(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4)=\begin{pmatrix}a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\\ a_1\end{pmatrix}.$$Die Bilder der Basis von \(V\) $$f(1)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\quad f(t)=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix},\quad f(t^2)=f(t^3)=f(t^4)=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$$ bilden die Spalten der Matrixdarstellung von \(f\): $$A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&0\end{pmatrix}.$$ Der Rest der Aufgabe geht zurueck an Dich.