Komplexe Lösungen bestimmen z^2 = 3+3i

Question

Hi,

ich möchte die komplexe Lösung der Gleichung ermitteln.

Dazu habe ich mir ein paar Gedanken gemacht:

z^2 = 3+3i

1.) Phi ausrechnen tan^-1(3/3) --> pi/4

2.) Satz von Moivre

z^n = |z|^n(cos(n*phi) +i*sin(n*phi))

sqrt(3^3+3^2)^2 = 18

18(cos(2*(pi/4)))+i*sin(2*(pi/4)))

18*0 +i18*1 (im TR Rad, Rad ist doch richtig?)

Ist der Ansatz richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht?

Comments

Du solltest noch angeben, in welchem Bereich du die Resultate haben möchtest. In der komplexen Zahlenebene  sind 2 Resultate zu bestimmen.

Answer 1

Meine Berechnung:

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Hi, danke. Habs gerade auch noch bei mir selbst verbessert.

Answer 2

die Rundungen  1,91 bei A1   bzw.  0,78  bei A2  sind ziemlich ungenau.

 Hier eine allgemeine Vorgehensweise:

Du musst nur n=2  und  w = 3 + 3i  → a = 3 und b = 3 setzen:

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus den Formeln

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [ - arccos(a/r) wenn b<0 ] ausrechnen.

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

Kontrolllösungen:

z₀ = √(3·√2/2 + 3/2) + i·√(3·√2/2 - 3/2)     ;   z₁= - √(3·√2/2 + 3/2) - i·√(3·√2/2 - 3/2)  

z₀ ≈ 1,902976705 + 0.7882387605 · i    ;   z₁ ≈ -1.902976705 - 0.7882387605 · i

( Die Genauigkeit bei den Kommastellen bleibt natürlich dir überlassen )

Gruß Wolfgang

 

Answer 3

Mit der Formel von Moivre kommt man hier nicht weiter. Da diese genau bei Fällen wie (8+8i)⁸ greift

Zur Lösung:

zk = |a|¹/n * e^j((phi + 2pi*k)/2)

sqrt(3²+3²)¹/2

Der Rest Ergibt sich durch einsetzen

für k = 0

--> z0 = (sqrt(3²+3²)¹/2)*(cos(pi/8)+i*sin(pi/8)) = 1,90 + 0,78i

für k = 1

--> z1 = -1,90 - 0,78i

Answer 4

mein Ansatz:

z^2=3+3i

|3+3i|=sqrt(18)

z^2=sqrt(18)*(sqrt(1/2)+i*sqrt(1/2))

=sqrt(18)*e^{i*pi/4})

z=±18^{1/4}*e^{i*pi/8}

Comments

Die Argumente der beiden Resultate sollten sich doch um π = 180° unterscheiden. (?)

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Nö, ich meine bei Quadratwurzeln müssen sich die Werte nur um das VZ unterscheiden.

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Da haust du auch recht. Das ist zufälligerweise beides dasselbe.

Nur wird bei der Polardarstellung in der Regel z = r*e^{i *phi} angegeben.