Maximum von Funktionenscharen

Question

Ich habe Probleme bei folgender Abituraufgabe:

Bei der Aufgabe bin ich so weit gekommen:

Ich weiß aber nicht wie ich jetzt bei der hinreichenden Bedingung beweisen kann, dass das Ergebnis <0 wird. (Und ich bin mir auch überhaupt nicht sicher, ob die zweite Ableitung überhaupt so stimmt.)
Außerdem habe ich keine Ahnung wie ich die (2) angehen soll.

Könnte mir vielleicht jemand helfen?

Answer 1

(1) Der Faktor a-0,5 in der ersten Zeile wo du die zweiten Ableitung berechnest stimmt nicht. Richtig ist

        g_a,c''(x) = c(a²e^-at - (a+0,5)²e^-(a+0,5)t).

Nullstelle der Ableitung  hast du richtig. Einsetzen in die zweite Ableitung liefert

        g_a,c''(-2 ln(a/(a+0,5))) = -a²c/(2a+1) · e^2a < 0 wegen a,c > 0.

(2) Gesucht sind a und c. Dafür benötigst du zwei Gleichungen:

        -2 ln(a/(a+0,5)) = 2,5

weil das der Zeitpunkt es Maximums ist, und

        g_a,c(2,5) = 1300

weil das der maximale Funktionswert ist.

Comments

Ok, danke!

Zu der Ableitung habe ich noch eine Frage.

Also die erste Ableitung ist ja:

g_a;c'(t) = c (-a * e ^-at + (a + 0,5) * e ^{-(a+0,5) t} )

Um dann die zweite Ableitung zu bilden muss man die Kettenregel anwenden.

Also die Ableitung von  e ^{-(a+0,5) t} ist -(a+0,5) * e ^{-(a+0,5) t}. Dann muss man das Minus in die Klammer ziehen und aus dem Faktor (-a-0,5) machen, oder?

Dann bin ich bei:  g_a;c''(t) = c (a² * e ^-at + (a+0,5) * (-a-0,5) * e ^{-(a+0,5) t} )

Wie komme ich dann auf deine Lösung? Kannst du das vielleicht etwas kleinschrittiger aufschreiben, oder erklären?

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> Dann muss man das Minus in die Klammer ziehen

Nein, muss man nicht. Man darf. Man sollte aber nicht. Stattdessen sollte man -(a+0,5) mit (a + 0,5) multiplizieren, dann kommt man zu -(a + 0,5)².

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Könntest du mir vielleicht noch erklären wie man von

g_a;c''(-2ln(a/a+0,5)) = c (a² * e ^{-a(-2ln(a/a+0,5))} - (a+0,5)² * e ^{-(a+0,5)(-2ln(a/a+0,5))} )

auf = -a²c/(2a+1) · e^2a  kommt? Ich weiß gar nicht wie man da anfängt irgendetwas zu rechnen bzw. zusammenzufassen.